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北京市第八十中学2025届高三下学期2月月考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．设集合，则（????）

A． B． C． D．

2．设复数满足，则的虚部是（????）

A．2 B． C． D．

3．在各项均为正数的等比数列中，若，则（????）

A．1 B．2 C．4 D．9

4．在中，若，则（???）

A． B． C． D．

5．下列函数中是奇函数，且在区间上是增函数的是（????）

A． B． C． D．

6．已知l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，则“”是“”的（????）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

7．已知直线与圆相交于两点．若圆上存在一点，使得四边形为菱形，则实数的值是（????）

A． B． C． D．

8．已知正方形的边长为2，以B为圆心的圆与直线相切，若点P是圆B上的动点，则的最大值是（???）

A． B． C．4 D．8

9．如图，是平面上一点，以为圆心，分别画出半径为1，2，3，4，5的同心圆.记半径为4的圆的一条切线为，再画出与平行的各圆的切线和一条穿过圆心与平行的直线.若以为焦点，为准线的抛物线记为，则这个点（???）

A．都不在抛物线线上 B．只有个点在抛物线上

C．有个点在抛物线上 D．有个点在抛物线上

10．已知，函数有最小值，则的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

二、填空题

11．的展开式的常数项是.（用数字作答）

12．已知双曲线的渐近线方程为，则．

13．函数的非负零点按照从小到大的顺序分别记为，．，若，则的值可以是．（写出符合条件的一个值即可）

14．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的点，点为其准线上的点，且满足．若，则点的横坐标为，的面积为．

15．太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种互相转化，相对统一的和谐美.定义：能够将圆的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆的一个“太极函数”.则下列有关说法中：

??

①函数是圆的一个太极函数；

②对于圆的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数；

③存在圆，使得是圆的一个太极函数；

④函数是奇函数，且当时，，若是圆的太极函数，则.

所有正确的是.

三、解答题

16．已知函数，，且的最小值为.

(1)求的值；

(2)设，求函数在区间上的最大值及相应自变量的值.

17．如图，四棱锥中，，底面是个直角梯形，，，.

(1)证明：；

(2)从下面条件①?条件②?条件③三个条件中选择一个作为已知，解答下面的问题.

条件①：；

条件②：；

条件③：二面角的大小为.

在棱上是否存在点（不与端点重合），使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求的值，若不存在，说明理由.

（注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分.）

18．为了解某地区居民每户月均用电情况，采用随机抽样的方式随机调查了100户居民，获得了他们每户月均用电量的数据，发现每户月均用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开区间），得到如下频率分布直方图：

(1)记频率分布直方图中从左到右的分组依次为第1组，第2组，...，第6组，从第5组和第6组中任取2户居民，求他们月均用电量都不低于的概率；

(2)从该地区居民中随机抽取3户，设月均用电量在之间的用户数为，以频率估计概率，求的分布列和数学期望；

(3)该地区为提倡节约用电，拟以每户月均用电量为依据，给该地区月均用电量不少于的居民用户每户发出一份节约用电倡议书，且发放倡议书的数量为该地区居民用户数的2%.请根据此次调查的数据，估计应定为多少合适?（只需写出结论）.

19．已知椭圆E：（）的右顶点为，离心率为.

(1)求椭圆E的方程；

(2)设O为原点，过点（）与x轴不重合的直线l交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB交直线于点M.记直线OM，AC的斜率分别为，.若，求实数t的值.

20．已知函数．

(1)求的单调区间；

(2)若，求证：函数只有一个零点，且；

(3)当时，记函数的零点为，若对任意且，都有成立，求实数m的最大值．（本题可参考数据：）

21．已知集合中含有三个元素，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”