2025年北师大版七年级下册数学期末复习微专题9几何构图 等腰三角形的常见辅助线及构造方法.docx

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微专题9几何构图等腰三角形的常见辅助线及构造方法

类型一构造等腰三角形的三线合一

针对训练

1.如图,在△ABC中,AB=AC,点M,N分别在BC所在直线上,且AM=AN.

(1)BM=CN吗?请说明理由;

(2)若∠MAB=15°,∠BAN=45°,求∠BAC的度数.

【解析】(1)BM=CN.

理由:过点A作AD⊥MN于点D,

因为AB=AC,AM=AN,

所以DM=DN,BD=CD,

所以BM=CN.

(2)因为AB=AC,AM=AN,

所以∠BAD=∠CAD,∠MAD=∠NAD,

所以∠NAC=∠MAB=15°,

因为∠BAN=45°,

所以∠BAC=∠BAN-∠NAC=45°-15°=30°.

2.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,点O是底边BC的中点,OD⊥AB,OE⊥AC,垂足分别为D,E.求证:OD=OE.

【证明】连接AO,

因为AB=AC,O是BC的中点,所以AO平分∠BAC,即∠DAO=∠EAO,

又AO=AO,

所以△AOD≌△AOE(AAS),

所以OD=OE.

3.如图,在△ABC中,AC=BC,点D是AB上一点,DE⊥BC于点E,EF⊥AC于点F.

(1)若点D是AB的中点,求证:∠BDE=12∠C

(2)若∠ADE=160°,求∠DEF的度数.

【解析】(1)连接CD,

因为AC=BC,点D是AB的中点,

所以CD⊥AB,∠ACD=∠BCD=12∠ACB

所以∠BCD+∠B=90°,

因为DE⊥BC,

所以∠B+∠BDE=90°

所以∠BCD=∠BDE.

所以∠BDE=12∠ACB

(2)因为∠ADE=160°,

所以∠BDE=20°,

因为DE⊥BC,EF⊥AC,

所以∠DEB=∠AFE=90°,

在Rt△BDE中,∠DEB=90°,

所以∠B=90°-∠BDE=90°-20°=70°,

因为AC=BC,

所以∠B=∠A=70°,

所以∠DEF=360°-∠A-∠ADE-∠AFE=360°-70°-160°-90°=40°.

类型二构造等腰三角形

针对训练

4.如图,点D,E在△ABC的边BC上,AD=AE,BD=CE,求证:AB=AC.

【证明】过点A作AF⊥BC于点F,

因为AD=AE,所以DF=EF,

因为BD=CE,所以BF=CF,

所以AB=AC.

5.下面是证明等腰三角形判定定理的两种添加辅助线的方法,选择其中一种完成证明.

等腰三角形判定定理:如果一个三角形有两个角相等,那么两个角所对的边也相等.

已知:如图,在△ABC中,∠B=∠C,求证:AB=AC.

证明:如图,作∠BAC的平分线交BC于点D

证明:如图,作BC边上的高线交BC于点D

【证明】方法一:

如图,作∠BAC的平分线交BC于点D.

所以∠BAD=∠CAD,

在△ABD和△ACD中,

∠B

所以△ABD≌△ACD(AAS),

所以AB=AC.

方法二:

如图,作BC边上的高线交BC于点D,

所以∠ADB=∠ADC=90°,

在△ABD和△ACD中,

∠ADB

所以△ABD≌△ACD(AAS),

所以AB=AC.

6.如图,阅读下面的题目及分析过程,并按要求进行证明.

已知:如图,E是BC的中点,点A在DE上,且∠BAE=∠CDE.求证:AB=CD.

分析:证明两条线段相等,常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质,观察本题中要证AB=CD,必须添加适当的辅助线,构造全等三角形或等腰三角形.请根据上述分析写出详细的证明过程(只需写一种思路).

【证明】方法一:如图(1),作BF⊥DE于点F,CG⊥DE于点G.

所以∠F=∠CGE=90°,

在△BFE和△CGE中,

∠BEF

所以△BFE≌△CGE(AAS).

所以BF=CG.

在△ABF和△DCG中,

∠F

所以△ABF≌△DCG(AAS).

所以AB=DC.

方法二:如图(2),作CF∥AB,交DE的延长线于点F.

所以∠F=∠BAE.

又因为∠BAE=∠D,

所以∠F=∠D.

所以CF=CD.

在△ABE和△FCE中,

∠BAE

所以△ABE≌△FCE(AAS).

所以AB=CF.

所以AB=CD.