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《概率论》期末考试试题及答案

一、选择题（每题2分，共20分）

1.以下哪个不是概率论的基本公理？

A.加法公理

B.乘法公理

C.交换律

D.互补公理

答案：C

2.抛掷一枚均匀的硬币，得到正面朝上的概率是多少？

A.0

B.1/2

C.1

D.1/4

答案：B

3.事件A和事件B相互独立，则以下哪个式子成立？

A.P(A∩B)=P(A)+P(B)

B.P(A∩B)=P(A)P(B)

C.P(A∪B)=P(A)+P(B)

D.P(A∪B)=P(A)P(B)

答案：B

4.若随机变量X的期望值E(X)=5，则以下哪个说法正确？

A.X总是等于5

B.X大于5

C.X小于5

D.不能确定X的具体值

答案：D

5.设随机变量X服从泊松分布，已知λ=3，则P(X=2)的值为多少？

A.3e^(3)

B.9e^(3)

C.18e^(3)

D.6e^(3)

答案：C

二、填空题（每题2分，共20分）

6.概率的范围是______，即0≤P(A)≤______。

答案：0；1

7.若事件A和B互斥，则P(A∪B)=______。

答案：P(A)+P(B)

8.设随机变量X的方差Var(X)=4，则其标准差σ=______。

答案：2

9.若随机变量X服从二项分布B(n,p)，则其期望值E(X)=______，方差Var(X)=______。

答案：np；np(1p)

10.若随机变量X服从均匀分布U(a,b)，则其期望值E(X)=______，方差Var(X)=______。

答案：(a+b)/2；(ba)^2/12

三、判断题（每题2分，共10分）

11.概率等于0的事件一定是不可能事件。（错误）

答案：×

12.概率等于1的事件一定是必然事件。（正确）

答案：√

13.两个相互独立的事件同时发生的概率等于它们各自发生概率的乘积。（正确）

答案：√

14.若随机变量X和Y相互独立，则它们的协方差Cov(X,Y)一定为0。（正确）

答案：√

15.方差是随机变量取值与其期望值之间差异的平方的期望。（正确）

答案：√

四、解答题（每题10分，共30分）

16.设随机变量X服从泊松分布，已知λ=2，求P(X=1)和P(X≥2)。

解答：

P(X=1)=λ^1e^(λ)/1!=2e^(2)/1=2e^(2)

P(X≥2)=1P(X=0)P(X=1)=1e^(2)2e^(2)=13e^(2)

17.设随机变量X和Y的联合概率分布如下表所示，求X和Y的边缘概率分布，并判断X和Y是否相互独立。

|X/Y|0|1|2|

|||||

|0|0.1|0.2|0.3|

|1|0.05|0.15|0.25|

|2|0.05|0.1|0.2|

解答：

X的边缘概率分布：

P(X=0)=0.1+0.2+0.3=0.6

P(X=1)=0.05+0.15+0.25=0.45

P(X=2)=0.05+0.1+0.2=0.35

Y的边缘概率分布：

P(Y=0)=0.1+0.05+0.05=0.2

P(Y=1)=0.2+0.15+0.1=0.45

P(Y=2)=0.3+0.25+0.2=0.75

由于P(X=0,Y=1)=0.2≠P(X=0)P(Y=1)=0.60.45，所以X和Y不是相互独立的。

18.设随机变量X服从正态分布N(μ,σ^2)，已知μ=3，σ=2，求P(2X5)。

解答：

标准化随机变量Z=(Xμ)/σ=(X3)/2

则P(2X5)=P((23)/2Z(53)/2)=P(0.5Z1)

查标准正态分布表得P(0.5Z1)≈0.3085