《优化理论线性规划》课件.pptVIP

*************分支定界法原理1问题松弛首先求解原问题的线性规划松弛，得到一个上界（对于最大化问题）。2分支如果松弛解不是整数解，选择一个非整数变量进行分支，创建两个子问题。3定界求解子问题的线性规划松弛，更新上下界。如果子问题的上界小于当前最佳整数解，则剪枝。4选择从未处理的子问题中选择一个继续分支。通常选择上界最大的子问题（对于最大化问题）。5终止当所有子问题都被处理或剪枝时算法终止。最后的整数解即为最优解。分支定界法实例问题描述最大化：z=5x+7y约束条件：x+y≤5.23x+2y≤17.1x,y≥0且为整数求解步骤1.求解LP松弛：x=2.7,y=2.5,z=312.分支：创建x≤2和x≥3两个子问题3.求解子问题：-x≤2:x=2,y=2.6,z=28.2-x≥3:x=3,y=2.1,z=29.74.继续分支直到找到整数解5.最优整数解：x=3,y=2,z=29二元整数规划定义二元整数规划是整数规划的一个特殊子类，其中所有决策变量都被限制为0或1。这种问题在实际应用中非常常见，特别是在涉及是/否决策的情况下。应用领域二元整数规划广泛应用于资源分配、设施选址、项目选择、投资组合优化等领域。它能够有效地模拟许多现实世界中的离散选择问题。求解方法常用的求解方法包括分支定界法、割平面法、以及专门针对二元问题设计的算法，如Balas加法算法。对于某些特殊结构的问题，还可以使用动态规划等技术。特点二元整数规划问题虽然变量只有两个可能的值，但仍然是NP-难问题。然而，由于其特殊结构，有时可以比一般整数规划问题更高效地求解。二元整数规划实例问题描述一家公司正在考虑投资5个项目，每个项目都有其成本和预期收益。公司的总预算为10万元。目标是在预算限制下最大化总收益。最大化：z=6x1+5x2+8x3+4x4+3x5约束条件：4x1+3x2+5x3+2x4+2x5≤10xi∈{0,1},i=1,2,3,4,5其中xi表示是否选择第i个项目（1表示选择，0表示不选）求解步骤1.构建问题的线性规划松弛2.使用分支定界法求解：-初始LP解：x1=1,x2=1,x3=0.4,x4=1,x5=0-分支：对x3进行分支（x3=0和x3=1）-继续分支直到找到全整数解3.最优解：x1=1,x2=1,x3=1,x4=0,x5=04.最大收益：19万元缩放法原理1问题简化将原问题中的系数和常数项缩小，使问题更容易求解。2迭代求解求解简化问题，并将解放大回原问题规模。3解的调整对放大后的解进行局部调整，使之满足原问题的约束。4逐步逼近重复上述过程，逐步提高精度，直到找到原问题的最优解。缩放法是一种启发式算法，特别适用于大规模整数规划问题。它通过降低问题的复杂度，使得难以直接求解的问题变得易于处理。虽然不能保证总是找到全局最优解，但在实践中常能快速得到高质量的近似解。缩放法实例原问题最大化：z=23x+31y约束条件：3x+2y≤184x+7y≤44x,y≥0且为整数求解步骤1.缩放系数（除以2）：最大化：z=11.5x+15.5y3x+2y≤94x+7y≤222.求解缩放问题：x=2,y=13.放大解：x=4,y=24.调整解以满足原约束：x=4,y=2（恰好满足）5.验证最优性：没有更好的整数解6.最终解：x=4,y=2,z=154应用领域概述生产制造优化生产计划、资源分配和库存管理，提高生产效率和降低成本。物流运输规划最优运输路线、车辆调度和配送中心选址，提升物流效率。金融投资优化投资组合、风险管理和资产配置，最大化收益同时控制风险。医疗卫生优化医疗资源分配、病床调度和医护人员排班，提高医疗服务质量。线性规划在众多领域中发挥着重要作用，帮助决策者在复杂的约束条件下做出最优选择。它的应用范围还在不断扩大，涵盖了从日常生活到高科技产业的各个方面。运筹优化建模1问题定义明确优化目标和关键约束条件，确定决策变量。2数学模型构建将问题转化为数学表达式，包括目标函数和约束方程。3数据收集与处理收集相关数据，进行必要的预处理和分析。4模型求解