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专题06函数的概念及其表示-2025年高考数学一轮复习讲义（新高考专用）

考试要求：

1.了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域.

2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.

3.了解简单的分段函数，并能简单应用.

1.函数的概念

概念

一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数

三要素

对应关系

y＝f(x)，x∈A

定义域

x的取值范围

值域

与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}

2.同一个函数

(1)前提条件：①定义域相同；②对应关系相同.

(2)结论：这两个函数为同一个函数.

3.函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.

4.分段函数

(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.分段函数表示的是一个函数.

(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集.

1.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点.

2.注意以下几个特殊函数的定义域：

(1)分式型函数，分母不为零的实数集合.

(2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合.

(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合.

(4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}.

(5)正切函数y＝tanx的定义域为.

1．已知函数f(x)=

2．设a0，函数f(

①f(x)

②当a≥1时，f(

③设M(x1，

④设P(x3，f(x

其中所有正确结论的序号是．

3．已知函数f(x)=?x2+2，????x≤1，x+1x?1，????x1，则f(f(12

4．设函数f(x)=?ax+1,????xa,(x?2)2,????x≥a.若f

5．函数f(x)=1x+

6．已知a∈R，函数f(x)=x2?4,x2|x?3|+a,x≤2,若f[f(

一、【考点1】函数的概念

7．若函数f(x)对任意x1，x2∈R都满足f(

A．f(x)=3x2 B．f(x)=3x+1 C．

8．已知函数fx为R上的偶函数，且当x0时，fx=

A．?23 B．?13 C．

9．设集合P={x|0≤x≤4},Q={y|0≤y≤4}，则下列图象能表示集合P到集合

A． B．

C． D．

10．已知函数fn

A．若n=1，且f1(a)+

B．若n=2，且f2(a)+

C．fn

D．fn(x)在区间

11．若函数f(x)=kx+k2的图像经过点(1

12．已知函数f(x)满足：f(tanx)=1cos

反思提升：

（1）函数的定义要求非空数集A中的任何一个元素在非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素.

（2）构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同

二、【考点2】求函数的定义域

13．以下四个选项中的函数，其函数图象最适合如图的是（）

A．y=e|x|2x B．y=(x2

14．已知函数y=f12x+1的定义域是2,4

A．2,3 B．2,3 C．2,3∪3,6

15．下列说法正确的是（）

A．命题“?x1，x21

B．“a10”是“1a

C．若函数f(x)的定义域为[0,2]，则函数f(2x)

D．记A(x1,f(

16．下列说法不正确的是（）

A．函数f(x)=1

B．若g(x)是奇函数，则一定有g(0)=0

C．已知函数f(x)=?x2?ax?5(x≤1)ax

D．若f(x)的定义域为[?2,2]，则f(2x?1)的定义域为[?

17．设函数f(x)的定义域为[0,1]，能说明“若函数f(x)在[0,

18．若分式1x2?6x+2m不论x取何值总有意义，则点(m?4,

反思提升：

1.求给定解析式的函数定义域的方法

求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.

2.求抽象函数定义域的方法

(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出.

(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域.

三、【考点3】求函数的解析式

19．已知函数f(x)满足f

A．?73 B．?109 C．

20．为了预防某种病毒，某学校需要通过喷洒药物对教室进行全面消毒．出于对学生身体健康的