专题08 奇偶性、对称性与周期性-2025年高考数学一轮复习讲义（新高考专用）（含答案）.docxVIP

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专题08奇偶性、对称性与周期性-2025年高考数学一轮复习讲义（新高考专用）

考试要求：

1.理解函数奇偶性的含义.

2.了解函数的最小正周期的含义.

3.会利用函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性解决函数性质的综合问题.

1.函数的奇偶性

奇偶性

定义

图象特点

偶函数

一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数

关于y轴对称

奇函数

一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数

关于原点对称

2.函数的周期性

(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.

1.函数周期性的常用结论

对f(x)定义域内任一自变量的值x：

(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a0).

(2)若f(x＋a)＝1fx，则T＝2a(

(3)若f(x＋a)＝－1fx，则T＝2a(

2.对称性的四个常用结论

(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.

(2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.

(3)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a+b2对称；特别地，当a＝b时，即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)时，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a

(4)若函数y＝f(x)满足f(x)＋f(2a－x)＝2b，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称.特别地，当b＝0时，即f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0时，则y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称.

1．已知f(x)

A．?2 B．?1 C．1 D．2

2．若f(x)=(x+a)ln2x?12x+1

A．?1 B．0 C．12

3．已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x

A．?21 B．?22 C．?23 D．?24

4．已知函数f(x)的定义域为R，且f

A．?3 B．?2 C．0 D．1

5．已知函数f(x)的定义域为R，f(x+2)为偶函数，f(2x+1)为奇函数，则（）

A．f(?12)=0 B．f(?1)=0 C．f(2)=0

6．设函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当x∈[1,2]时，f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6

A．?94 B．?32 C．

7．已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)=y2f(x)+x2f(y)，则（）

A．f(0)=0 B．f(1)=0

C．f(x)是偶函数 D．x=0为f(x)的极小值点

8．已知函数f(x)及其导函数f(x)的定义域均为R

A．f(0)=0 B．g(?12

9．若f(x)=(x?1)2

10．已知函数f(x)=x3(a?2

一、【考点1】函数的奇偶性

11．已知函数f(x)的定义域为R，且yf(x)?xf(y)=xy(x?y)，则下列结论一定成立的是（）

A．f(1)=1 B．f(x)为偶函数

C．f(x)有最小值 D．f(x)在[0,

12．已知函数f(x)=(12)x

A．?(12)x B．(1

13．已知函数f(x)为R上的奇函数，且在R上单调递增.若f(2a)+f(a?2)0，则实数a的取值可以是（）

A．?1 B．0 C．1 D．2

14．已知函数f(x)的定义域为R，f(x+y)?f(x?y)=f(x+32)f(y+

A．f(32)=0

C．f(0)=?2 D．f(x)的一个周期为3

15．已知b0，函数f(x)=a+4bx

16．已知函数f(x)的定义域D=(?∞,0)∪(0,+∞)，对任意x1,x2∈D，恒有f(x1

反思提升：

1.判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：

(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；

(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立.

2.利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.

3.画函数图象：利用函数