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专题09幂函数与二次函数-2025年高考数学一轮复习讲义（新高考专用）

考试要求：

1.了解幂函数的概念；结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝的图象，了解它们的变化情况；

2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.

1.幂函数

(1)幂函数的定义

一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.

(2)常见的五种幂函数的图象

(3)幂函数的性质

①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；

②当α0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；

③当α0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.

2.二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式

一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).

顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).

零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.

(2)二次函数的图象和性质

函数

y＝ax2＋bx＋c

(a0)

y＝ax2＋bx＋c

(a0)

图象

(抛物线)

定义域

R

值域

[

(?

对称轴

x=-

顶点

坐标

-

奇偶性

当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数

单调性

在(?∞,?b

在[?b2a,+

在(?∞,?b

在[?b2a,+

1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.

2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当a0Δ0时，恒有f(x)0；当a0Δ0时，恒有

3.(1)幂函数y＝xα中，α的取值影响幂函数的定义域、图象及性质；

(2)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限.

1．设a=1.01

A．abc B．bac C．cba D．cab

2．设函数f(x)=2x(x?a)在区间(0,

A．(?∞,?2] B．[?2,0) C．

3．已知a=20.7，

A．acb B．bca C．abc D．cab

4．设B是椭圆C：x2a2+y2b

A．[22，1) B．[12

【考点1】幂函数的图象和性质

一、单选题1

5．已知幂函数f(x)=(m2+2m?2)xm

A．?3 B．?1 C．3 D．1

6．与y=1

A．y=x23 B．y=(x)

二、多选题1

7．已知集合S,T，定义

A．若S={1921,1949},T={0,

B．若S={2021},R表示实数集，R

C．若S={2024},R

D．若S={2049},R+表示正实数集，函数f(x)=lo

8．现有4个幂函数的部分图象如图所示，则下列选项可能成立的是（）

A．p=3，m=2，q=12，n=?3 B．p=4，m=3，q=

C．p=2，m=3，q=?12，n=?3 D．p=12，m=

三、填空题1

9．已知函数f(x)=xα(

10．已知函数f(x)=xx?1,g(x)=ex?1?

反思提升：

(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式.

(2)在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴.

(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.

【考点2】求二次函数的解析式

四、单选题2

11．函数f(x)=sin2

A．[0,3?1] B．[0

12．设函数f(x)的定义域为R，且f(?x+1)=?f(x+1),f(x+2)=f(?x+2)，当x∈[0,1]时，

A．?4 B．?3 C．1 D．?2

五、多选题2

13．若正数x，y满足3x+y=2，则（）

A．xy的最大值是13 B．x+yxy

C．当9x2+y2≤2时，

14．已知二次函数f(x)满足对于任意的x,y∈R,f(x)f(y)=f(xy)且

A．p+2q≥?1 B．p+2q≤

C．p2+2q

六、填空题2

15．已知动点P(x,y)的轨迹方程为x2?4y2?

16．已知函数f(x)同时满足①f(0)=0；②在[1，3]上单调递减；③f(1+x)

反思提升：

求二次函数解析式的方法

【考点3】二次函数的图象与性质

七、单选题3

17．已知函数f(x)=loga(x2

A．(14,

C．(14,

18．若函数f(x)=|x

A．[12,

C．[?12,

八、多选题3

19．若函数f(

A．f(

B．f(x)

C．f(x)

D．f(x)

20．若函数f(x)=|x2?(m?2)x+1|在[?

A．?1 B．?12 C．5

九、填空题3

21．已知函数f(x)=x2?3