专题28 平面向量的概念及线性运算-2025年高考数学一轮复习讲义（新高考专用）（含答案）.docxVIP

PAGE\*Arabic1

PAGE\*Arabic1

专题28平面向量的概念及线性运算-2025年高考数学一轮复习讲义（新高考专用）

考试要求：

1.了解向量的实际背景.

2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.

3.理解向量的几何表示.

4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.

5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.

6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.

1.向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向.向量的大小就是向量的长度(或称模)，记作||.

(2)零向量：长度为0的向量，记作0.

(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量.

(4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a，b平行，记作a∥b.规定：0与任一向量平行.

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.

(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.

2.向量的线性运算

向量运算

定义

法则(或几何意义)

运算律

加法

求两个向量和的运算

三角形法则

平行四边形法则

(1)交换律：

a＋b＝b＋a.

(2)结合律：

(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

减法

求两个向量差的运算

a－b＝a＋(－b)

数乘

规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa

(1)|λa|＝|λ||a|；

(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0

λ(μa)＝λμa；

(λ＋μ)a＝λa＋μa；

λ(a＋b)＝λa＋λb

3.共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.

1.中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋).

2.＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.

3.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是考虑向量的方向；二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件.

一、单选题

1．已知向量a,b,c满足|a

A．?45 B．?25 C．

二、填空题

2．已知向量a=(2，5)，b=(λ

【考点1】平面向量的概念

三、单选题

3．已知△ABC的外接圆圆心为O，且2AO=AB+AC

A．14CB B．34CB C．

4．已知|a|=2,b=(

A．22 B．23 C．4

四、多选题

5．下列说法不正确的是（）

A．若a//b，则a与

B．若a，b为非零向量，且a|a|=b

C．若a//b，则存在唯一的实数λ

D．若e1,e2

6．有关平面向量的说法，下列错误的是（）

A．若a//b，b

B．若a与b共线且模长相等，则a

C．若|a||b|且a

D．(λa

五、填空题

7．已知?ABCD在平面直角坐标系中，AB=(4,2),

8．设A，B，C是△ABC的三个内角，△ABC的外心为O，内心为I．OI≠0且OI与BC共线．若ktanA=1tan

反思提升：

平行向量有关概念的四个关注点

(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.

(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.

(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆.

(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量.

【考点2】向量的线性运算

六、单选题

9．如图，在平行四边形ABCD中，AD=23,cos∠BAD=32，E是边BC的中点，F是CD上靠近D

A．4 B．3 C．23 D．

10．若平面向量a，b满足|a|=|b|，且t=1

A．0 B．π3 C．π2

七、多选题

11．已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，O为△ABC的重心，cosA=15，

A．AO=13

C．△ABC的面积的最大值为36 D．a的最小值为

12．已知等边△ABC的边长为4，点D，E满足BD=2DA，BE=EC，AE与

A．CD=23

C．CO=2OD

八、填空题

13．已知正六边形ABCDEF边长为2，MN是正六边形ABCDEF的外接圆的一条动弦，MN=2，P为正六边形ABCDEF边上的动点，则PM?PN的最小值为

14．如图，动点C在以AB为直径的半圆O上（异于A，B），DC⊥BC，DC=BC，|AB|=2，|CA?BC|=；

反思提升：

1.(1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.

(2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转