高考数学资料-立体几何综合-高考理数母题题源系列（全国Ⅰ专版）（解析版）.pdfVIP

专题18立体几何综合

母题呈现

【母题来源一】【2019年高考全国I卷理数】如图，直四棱柱ABCD-A^iCiDi的底面是菱,

Q

A4i=4,ZBAD=60,E,M,N分别是BC,4。的中点.

（1）证明：MN〃平面GDE；

2（）求二面角A-MA]-N的正弦值,

【答案】（1）见解析；2（）典.

5

【解析】（1）连结BiC,ME.

因为M,E分别为88,8。的中点，

所以ME〃8C,且

2

又因为N为40的中点，

所以

2

由题设知可得故MEND,

因此四边MNDE为平行四边，MN〃£D

又MMZ平面EOG,

所以MN〃平面GQE.

(2)由已知可得OE_LD4.

以。为坐标原点，方的方向为］轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系。-孙2,

则A(2,0,0),A1(2,o,4),MQ万⑵，N(1,0,2),

平二(0,0,T),辆=(—1,71—2),卒二(—1,0,—2),丽=(0,—6,0).

M•AM-0

设机二(屈居Z)为平面4MA的法向量，则，_

m^A=0

所以.一+6y-2z=o,可取而=(在］⑼

-4z=0.

n-MN-0

设〃=(p,q,r)为平面4MN的法向量，则｛___

AN=0.

所以「包二可取〃二2（,0,-1）.

-p-2r=0.

旦inn_23V15

]cos/（w,ii）=—-—=产=,

\m\\n\2x755

所以二面角A—MA—N的正弦值为巫.

5

【名师点睛】本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题.求解二面角的关键

是能够利用垂直关系建立空间直角坐标系，从而通过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角的

正弦值，属于常规题型.

【母题来源二】【2018年高考全国【卷理数】如图，四边A6CO为正方，E,尸分别为

AD,8c的中点，以。尸为折痕把△。打。折起，使点C到达点尸的位置，且PF上BF.

（1）证明；平面?平面A3R）；

2（）求OP与平面A8底。所成角的正弦值.

【答窠】（1）见解析；2（）在

4

【解析】方法一：（1）由已知可得，BF1PF,BFLEF,

所以8尸_L平面PEF.

又6bu平面ASFU

所以平面PM_L平面ABFD.

2（）在平面0E尸中，过PPH1EF于点H,连接。从如图,