高中理科数学解题方法篇(方程与函数).docVIP

错解剖析得真知〔二十〕平面解析几何初步

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§7.1直线和圆的方程

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一、知识导学

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1．两点间的距离公式:不管A(1，1)，B(2，2)在坐标平面上什么位置，都有d=|AB|=，特别地，与坐标轴平行的线段的长|AB|=|2－1|或|AB|=|2-1|.

2．定比分点公式:定比分点公式是解决共线三点A(1，1)，B(2，2)，P(，)之间数量关系的一个公式，其中λ的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比.这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的，一旦选定后λ的值也就随之确定了.假设以A为起点，B为终点，P为分点，那么定比分点公式是.当P点为AB的中点时，λ=1，此时中点坐标公式是.

3．直线的倾斜角和斜率的关系

〔1〕每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率.

〔2〕斜率存在的直线，其斜率与倾斜角α之间的关系是=tanα.

4．确定直线方程需要有两个互相独立的条件。直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围.

名称

方程

说明

适用条件

斜截式

为直线的斜率

b为直线的纵截距

倾斜角为90°的直线不能用此式

点斜式

()?为直线上的点，为直线的斜率

倾斜角为90°的直线不能用此式

两点式

=

()，()是直线上两个点

与两坐标轴平行的直线不能用此式

截距式

+=1

为直线的横截距

b为直线的纵截距

过〔0，0〕及与两坐标轴平行的直线不能用此式

一般式

，，分别为斜率、横截距和纵截距

A、B不全为零

5．两条直线的夹角。当两直线的斜率,都存在且·≠-1时，tanθ=，当直线的斜率不存在时，可结合图形判断.另外还应注意到：“到角”公式与“夹角”公式的区别.

6．怎么判断两直线是否平行或垂直？判断两直线是否平行或垂直时，假设两直线的斜率都存在，可以用斜率的关系来判断；假设直线的斜率不存在，那么必须用一般式的平行垂直条件来判断.

〔1〕斜率存在且不重合的两条直线1∶，2∶，有以下结论：

①1∥2=，且ｂ1＝ｂ2

②1⊥2·=-1

〔2〕对于直线1∶，2∶，当1，2，1，2都不为零时，有以下结论：

①1∥2=≠

②1⊥212+12=0

③1与2相交≠

④1与2重合==

7．点到直线的距离公式.

〔1〕一点P〔〕及一条直线：，那么点P到直线的距离d=；

〔2〕两平行直线1:，2:之间的距离d=.

8．确定圆方程需要有三个互相独立的条件。圆的方程有两种形式，要知道两种形式之间的相互转化及相互联系

〔1〕圆的标准方程：，其中〔，b〕是圆心坐标，是圆的半径；

〔2〕圆的一般方程：〔＞0〕，圆心坐标为〔-，-〕，半径为=.

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二、疑难知识导析

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1．直线与圆的位置关系的判定方法.

〔1〕方法一直线：；圆：.

一元二次方程

〔2〕方法二直线:；圆：，圆心〔，b〕到直线的距离为

d=

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2．两圆的位置关系的判定方法.

设两圆圆心分别为O1、O2，半径分别为1，2，|O1O2|为圆心距，那么两圆位置关系如下：

|O1O2|1+2两圆外离；

|O1O2|=1+2两圆外切；

|1-2||O1O2|1+2两圆相交；

|O1O2|=|1-2|两圆内切；

0|O1O2||1-2|两圆内含.

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三、经典例题导讲

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［例1］直线l经过P〔2,3〕,且在x,y轴上的截距相等,试求该直线方程.

错解：设直线方程为:,又过P(2,3),∴,求得a=5

????????∴直线方程为x+y-5=0.

错因：直线方程的截距式:的条件是:≠0且b≠0,此题忽略了这一情形.

正解：在原解的根底上,再补充这样的过程:当直线过(0,0)时,此时斜率为:,

∴直线方程为y=x

综上可得:所求直线方程为x+y-5=0或y=x.

［例2］动点P到y轴的距离的3倍等于它到点A(1,3)的距离的平方,求动点P的轨迹方程.

错解：设动点P坐标为(x,y).由3

???????化简3=x2-2x+1+y2-6y+9.

???????当x≥0时得x2-5x+y2-6y+10=0.?①

当x＜0时得x2+x+y2-6y+10=0.?②

错因：上述过程清楚点到y轴距离的意义及两点间距离公式,并且正确应用绝对值定义将方程分类化简,但进一步研究化简后的两个方程,配方后得

(x-)2+(y-3)2=?①????和??(x+)2+(y-3)2=-??②

两个平方数之和不可能为负数,故方程②的情况不会出现.

正解：接前面的过程,∵方程①化为(x-)2+(y-3)2=,方程②化为(x+)2+(y-3)2=-,由于两个平方数之和不可能为负数,故所求动点P的轨迹方程为:(x-)2+(y-3)2=(x≥0)

［例3］m是什么数时，关于x,y的方程〔2m2+m-1〕x2+〔m2-m+2〕y2+m