5.3.1正弦函数、余弦函数的图象与性质 教学设计（表格式）2025年高一上学期数学湘教版(2019)必修第一册2025年.docxVIP

（2025年）

课题

§5.3.1正弦函数、余弦函数的图象与性质（2）

主备人

审核

备课日期

2024年12月9日

课型

新授课

教学目标

1.借助正余弦函数理解周期函数的概念.

2.会求与正弦函数、余弦函数的周期性有关的问题.

3.会求与正弦函数、余弦函数有关的值域(最值).

核心素养

数学抽象：周期函数的概念的理解.

逻辑推理：函数的周期性有关的问题.

数学运算：求周期，值域(最值).

教学重点

理解正余弦函数的周期性，根据正余弦函数的值域求有关函数的最值

教学难点

对周期函数概念的理解和运用

教学策略

与方法

启发引导、合作探究、归纳总结、抽象概括

教学过程

教学内容

师生活动

设计意图

创设情境

导入新课

自然界存在许多周而复始的现象,如地球自转和公转,物理中的单摆运动,弹簧振动和圆周运动等.数学中从正弦函数和余弦函数的定义知,角α的终边每转一周又会与原来的终边重合,也具有周而复始的变化规律,为定量描述这种变化规律,需引入一个新的数学概念一一函数周期性.

教师提问，学生思考

激发兴趣引入课题

探究新知

形成概念

【探究一】周期函数的概念及性质

【思考1】正弦函数具有怎样的“周而复始”的变化规律？

在图象上，横坐标每隔个单位长度，就会出现纵坐标相同的点

从诱导公式中得到反映，即自变量的值增加整数倍时所对应的函数值，与所对应的函数值相等．

数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律．

【归纳总结】

1.周期函数的概念：

一般地，对于函数y=，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，x±T都有定义，并且f(x±T)=f(x)，则称y=f(x)叫作周期函数，T称为这个函数的一个周期.

2.周期函数的性质：

(1)周期不唯一，任何T的非零整数倍都是函数的周期.

(2)如果周期中存在最小的正数，则称这个数为最小正周期.

3.正余弦函数的周期：2π是y=sinx，y=cosx的最小正周期，最小正周期常简称为周期.

【探究二】值域与最值

【思考2】观察正弦函数、余弦函数的图象，回答下列问题：

学生思考

教师总结

抽象概括出概念，引导学生理解记忆

让学生体会周期函数的特点

教学过程

教学内容

师生活动

设计意图

探究新知

形成概念

（1）正弦函数、余弦函数的值域都是[-1，1]，最大值都是1，最小值都是-1.

（2）正弦函数当且仅当_________时取得最大值1，当且仅当_________时取得最小值;余弦函数当且仅当_________时取得最大值1，当且仅当________时取得最小值．

教师引导学生归纳

理解正余弦函数的值域与最值

精讲点拨

迁移应用

【例1】求下列三角函数的周期.

(1)y=7sinx，x∈R；(2)y=sin2x，x∈R；(3)y=|cosx|，x∈R.

【方法总结】求三角函数周期的方法

(1)定义法：利用周期函数的定义求解.

(2)图象法：画出函数图象，通过图象直接观察即可.

跟踪训练1(1)函数y=1-sinx的周期为2π.

(2)设函数是以2为最小正周期的周期函数，且当时，．求，的值．

【例2】求下列函数取得最大值、最小值时的自变量x的集合，并写出最大值、最小值：

(1)y=2sin2x；(2)y=3-2cosx；(3)y=3sin(2x-)-5

【例3】求函数在上的值域.

【例4】求函数y=cos2x-4cosx+5，x∈R的值域.

【方法总结】三角函数值域(最值)问题的求解方法

(1)形如y=asinx(或y=acosx)型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论.

(2)形如y=Asin(ωx+φ)+b(或y=Acos(ωx+φ)+b)型，可先由定义域求得ωx+φ的范围，然后求得sin(ωx+φ)(或cos(ωx+φ))的范围，最后求得值域(最值).

(3)形如y=asin2x+bsinx+c(a≠0)型，可利用换元思想，设t=sinx，转化为二次函数y=at2+bt+c求最值.t的范围需要根据定义域来确定.

跟踪训练2求函数f(x)=2sin2x+2sinx-12，x∈π

教师讲解归纳方法

学生完成教师点评

教师分析讲解，归纳方法

会求简单函数的周期

会求与正余弦函数有的函数值域

达标检测

评价反馈

1.函数y=2-sinx的最大值及取最大值时x的值为(C)

A.ymax=3，x=π2B.ymax=1，x=π2+2kπ(k∈

C.ymax=3，x=-π2+2kπ(k∈Z)D.ymax=3，x=π2+2kπ(k∈

学生独立完成，教师点

检测学习效果

教学过程

教学内容

师生活动

设计意图

达标检测

评价反