2024年高考数学一轮复习专题7.2二项式定理练习含解析.docVIP

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其次讲二项式定理

【套路秘籍】

【套路秘籍】千里之行始于足下

1．二项式定理

二项式定理

(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b1＋…＋Ceq\o\al(r,n)an－rbr＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)

二项绽开式的通项公式

Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)an－rbr，它表示第r＋1项

二项式系数

二项绽开式中各项的系数Ceq\o\al(r,n)(r∈{0,1,2，…，n})

2．二项式系数的性质

(1)Ceq\o\al(0,n)＝1，Ceq\o\al(n,n)＝1.Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m－1,n)＋Ceq\o\al(m,n).

(2)Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n).

(3)当n是偶数时，项的二项式系数最大；当n是奇数时，与项的二项式系数相等且最大．

(4)(a＋b)n绽开式的二项式系数和：Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.

【修炼套路】

【修炼套路】为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始

考向一通项公式的运用

【例1】（1）(2x＋eq\r(x))5的绽开式中，x3的系数是________．(用数字填写答案)

（2）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2)－2))3绽开式中的常数项为。

（3））(x2＋x＋y)5的绽开式中，x5y2的系数为。

（4）绽开式中x2的系数为。

【答案】（1）10（2）-20（3）30（4）-1280

【解析】（1）Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)(2x)5－r·(eq\r(x))r＝25－rCeq\o\al(r,5)·，令5－eq\f(r,2)＝3，得r＝4，∴T5＝10x3，∴x3的系数为10

（2）∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2)－2))3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))6，∴Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)x6－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))r＝Ceq\o\al(r,6)(－1)rx6－2r，令6－2r＝0，得r＝3，∴常数项为Ceq\o\al(3,6)(－1)3＝－20.

（3）法一：利用二项绽开式的通项公式求解．(x2＋x＋y)5＝(x2＋x)＋y]5，

含y2的项为T3＝Ceq\o\al(2,5)(x2＋x)3·y2.其中(x2＋x)3中含x5的项为Ceq\o\al(1,3)x4·x＝Ceq\o\al(1,3)x5.所以x5y2的系数为Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,3)＝30.

法二：利用组合学问求解．

(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,1)＝30.

（4）依据二项式的绽开式得到可以第一个括号里出项，其次个括号里出项，或者第一个括号里出，其次个括号里出，详细为：化简得到-1280x2

【套路总结】

【套路总结】

求二项绽开式有关问题的常见类型及解题策略：

(1)求绽开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.

(2)已知绽开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最终求出其参数.

【举一反三】

1．绽开式中项的系数是（）

A．270 B．180 C．90 D．45

【答案】A

【解析】∵，

∴绽开式中项的系数为270，故选：A．

2．在的绽开式中，的系数是224，则的系数是（）

A．14 B．28 C．56 D．112

【答案】A

【解析】因为在的绽开式中，，

令则，∴，

再令，则为第6项．∴则的系数是14．故选：A

3．在的绽开式中，含项的系数为

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】因为，含项的系数为.故选：B

4．的绽开式中的系数是（）

A．27 B．-27 C．26 D．-26

【答案】B

【解析】绽开式中的系数

中的与绽开式中项相乘，但绽开式中没有项

中的与绽开式中项相乘，

所以的系数是，故选B项.

考向二二项式系数、系数

【例2】已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求：

(1)a1＋a2＋…＋a7；

(2)a1＋a