新高考数学一轮复习高频考点与题型分类训练6-5 数列中的综合问题 (精讲精练）（解析版）.doc

6-5数列中的综合问题

1.了解数列是一种特殊的函数，会解决等差、等比数列的综合问题.

2.能在具体问题情境中，发现等差、等比关系，并解决相应的问题．

TOC\o1-4\h\u6-5数列中的综合问题 1

一、分类题型 1

题型一数学文化与数列的实际应用 2

题型二等差数列、等比数列的综合运算 2

题型三数列与其他知识的交汇问题 3

命题点1数列与不等式的交汇 3

命题点2数列与函数的交汇 4

三、分层训练：课堂知识巩固 4

一、分类题型

题型一数列的新定义问题

（2023春·湖南长沙·高二长沙一中校考阶段练习）我国新型冠状病毒感染疫情的高峰过后，关于药物浪费的问题引发了广泛的社会关注．过期药品处置不当，将会给环境造成危害．现某药厂打算投入一条新的药品生产线，已知该生产线连续生产n年的累计年产量为（单位：万件），但如果年产量超过60万件，将可能出现产量过剩，产生药物浪费．因此从避免药物浪费和环境保护的角度出发，这条生产线的最大生产期限应拟定为（????）

A．7年 B．8年 C．9年 D．10年

【解答】第一年年产量为，以后各年年产量为，，

当时也符合上式，∴．令，

得．设，对称轴为，

则当时，单调递增，又因为，，

则最大生产期限应拟定为8年，

，

故选：B．

（多选）（2022·高二课时练习）在数列中，若（，，为常数），则称为“等方差数列”，下列对“等方差数列”的判断正确的是（????）

A．若是等方差数列，则一定是等差数列

B．若是等方差数列，则可能是等差数列

C．是等方差数列

D．若是等方差数列，则也是等方差数列

【解答】对于A：令，则，所以，

即是等方差数列，但不是等差数列，故A错；

对于B：令，则，所以，

所以是等方差数列，也是等差数列，故B正确；

对于C：令，则，所以是等方差数列，故C正确；

对于D：若是等方差数列，则是常数，

因此是常数，

所以是等方差数列，故D正确．

故选：BCD

数列应用问题常见模型

(1)等差模型：后一个量比前一个量增加(或减少)的是同一个固定值．

(2)等比模型：后一个量与前一个量的比是同一个固定的非零常数．

(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，那么应考虑an与an＋1(或者相邻三项)之间的递推关系，或者Sn与Sn＋1(或者相邻三项)之间的递推关系．

（2023·全国·高三专题练习）据报道，我国森林覆盖率逐年提高，某林场去年底森林木材储存量为立方米，若树林以每年25％的增长率生长，计划从今年起，每年冬天要砍伐的木材量为立方米，为了实现经过20年木材储存量翻两番的目标，问：每年砍伐的木材量的最大值是多少？（附：）

【解答】设从今年起的每年年底木材储存量组成的数列为，

所以，当时，，即，

又，

∴是以为首项，公比为的等比数列，

即，

根据题意，即，

设，则，

则，即，代入上式整理得．

故每年砍伐的木材量的最大值是．

（2023春·上海宝山·高一上海交大附中校考期末）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：.该数列的特点如下：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把由这样一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记是数列的前项和，则__________.

【解答】当时，，则，

则当时，

，

因此，而，

所以.

故答案为：98

题型二等差数列、等比数列的综合运算

（2023·全国·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，，且，，成等比数列．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和．

【解答】（1）由题意，

在等差数列中，设公差为,

由，得，则，

又a3＋2，a4，a5－2成等比数列，

∴7，5＋d，3＋2d成等比数列，得，即，得d＝2，

∴，，

∴数列的通项公式为：．

（2）由题意及（1）得，，

在数列中，，

在数列中，，

∴，

∴，

，

两式相减得

．

∴

（2020·江苏苏州·统考三模）已知数列、中，，，且，，设数列、的前项和分别为和.

（1）若数列是等差数列，求和；

（2）若数列是公比为2的等比数列.

①求；

②是否存在实数，使对任意自然数都成立？若存在，求的值；若不存在，说明理由.

【解答】解：（1）依题意：时，，

又因数列是等差数列，

所以数列的公差是，

所以，所以.

当是奇数时，

当是偶数时，，

所以

（2）①

.

②∵，

，

∴

.

由，得，

即对任意恒成立，

即对任意恒成立，

所以

解得.

即存在实数使对任意恒成立.

对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关系．数列的求和主要是等差、等比数列的求和及裂项相消法求和与错位相减法求和，本题中利用裂项相消法求数列的和，然后利用b1＝1，