吉林省长春市实验中学2024-2025学年高三上学期期末考试数学试题（含答案解析）.docx

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吉林省长春市实验中学2024-2025学年高三上学期期末考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，则（???）

A． B． C． D．

2．已知i是虚数单位，复数满足，那么的虚部是（???）

A． B． C． D．

3．向量，，则向量在向量上的投影向量是（???）

A． B． C． D．

4．已知点是角终边上的一点，且，则的值为（???）

A．2 B． C．或2 D．或

5．已知双曲线的焦点为，以为直径的圆与双曲线的一个交点为，且有，则双曲线的离心率（???）

A． B． C．2 D．

6．若一个三棱锥中，有一条棱长为，其余棱长均为1，则其体积取得最大值时的值为（????）

A．3 B． C． D．1

7．在中，内角的对边分别为，为BC边上一点，且，则的面积为（）

A． B． C． D．

8．若关于的不等式的非空解集中无整数解，则实数的取值范围是（???）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知函数，则（????）

A．的图象关于点对称

B．在上的最大值为

C．的最小正周期为

D．若在上单调递减，则的最大值为

10．已知点，，抛物线的焦点为是上的动点，动点满足，则下列说法正确的是（????）

A．点在动点的轨迹上

B．周长的最小值为

C．当最小时，点的横坐标为4

D．面积的最大值为

11．在长方体中，已知，分别为的中点，则下列结论正确的是（????）

A．异面直线与所成角的余弦值为

B．点为长方形内一点，满足平面时，的最小值为

C．三棱锥的外接球的体积为

D．过点的平面截长方体所得的截面周长为

三、填空题

12．已知，则.

13．甲?乙两人各有三张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字，乙的卡片上分别标有数字，两人各自从自己持有的卡片中随机任选两张，并比较所选卡片上数字之和的大小，数字之和大的人获胜.则甲获胜的概率为.

14．已知点，定义为的“镜像距离”．若点在曲线上，且的最小值为2，则实数的值为.

四、解答题

15．已知在数列中，，且当时，.

(1)求的通项公式；

(2)设，数列的前项和为，证明：.

16．2023年6月7日，21世纪汽车博览会在上海举行，已知某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：

红色外观

蓝色外观

棕色内饰

12

8

米色内饰

2

3

(1)若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件为小明取到红色外观的模型，事件为小明取到棕色内饰的模型，求和，并判断事件和事件是否独立；

(2)该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下假设：

假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、以及仅外观或仅内饰同色；

假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高；

假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖600元，二等奖300元、三等奖150元；

请你分析奖项对应的结果，设为奖金额，写出的分布列并求出的数学期望．

17．已知函数．

(1)若1是函数的极值点，求的值；

(2)若，试问是否存在零点．若存在，请求出该零点；若不存在，请说明理由．

18．如图1，在边长为2的菱形ABCD中，于点，将沿DE折起到的位置，使，如图2．

(1)求证：平面BCDE；

(2)求二面角的余弦值；

(3)在线段BD上是否存在点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

19．已知椭圆经过点且离心率为，设直线与椭圆相交于两点．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若直线的斜率为1，求线段中点的轨迹方程；

(3)若直线的斜率为2，在椭圆上是否存在定点，使得（分别为直线的斜率）恒成立？若存在，求出所有满足条件的点，若不存在．请说明理由．

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《吉林省长春市实验中学2024-2025学年高三上学期期末考试数学试题》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

A

A

D

D

B

D

B

ACD

BCD

题号

11

答案

BD

1．C

【分析】解不等式得到，，根据交集概念求出答案.

【详解】，解得，故，

令，解得，则，

故.

故选：C

2．A

【分析】