新高考数学三轮复习考前冲刺练习15 圆锥曲线大题综合（解析版）.doc

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15圆锥曲线大题综合

1．（2023·河北唐山·统考二模）已知抛物线：的焦点为，为上一点，为准线上一点，，

(1)求的方程；

(2)，，是上的三点，若，求点到直线距离的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据已知条件得到，根据得到，再结合焦半径公式即可得到，从而得到.

（2）根据题意得到，设直线的方程为，，，与抛物线联立得到，，根据斜率公式得到，从而得到，即可得到直线过定点，再根据当时，点到直线距离最大求解即可.

【详解】（1）如图所示：

由题意可知，因为，，

由，，可得，

由抛物线的定义可知，，解得．

则的方程为.

（2）如图所示：

在抛物线上，所以，

设直线的方程为，，，

将代入，得

则，

，同理

整理得，，

直线的方程为，所以直线过定点.

当时，点到直线距离最大，

且最大距离为，

经检验符合题意.

2．（2023·广东深圳·统考二模）已知双曲线：，点M为双曲线C右支上一点，A、B为双曲线C的左、右顶点，直线与y轴交于点D，点Q在x轴正半轴上，点E在y轴上.

(1)若点，，过点Q作BM的垂线l交该双曲线C于S，T两点，求的面积；

(2)若点M不与B重合，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①；②；③.注:若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）先根据已知，得出的方程，然后联立与双曲线的方程，根据韦达定理得出坐标的关系，表示出弦长，最后根据面积公式，即可得出答案；

（2）①②为条件，③为结论：易得.又，.然后根据直线的斜率可得出.设点，则，即可得出坐标；①③为条件，②为结论：易得，.又，即可的得出，，求解，整理即可得出证明；②③为条件，①为结论：易得，平方整理可得.根据，得.进而根据，即可求出，平方整理，即可得出证明.

【详解】（1）由已知可得，，.

因为点，直线的斜率为，

所以直线的垂线的方程为，

整理可得，.

设点，，

联立直线与双曲线的方程可得，，

则，且，

所以，.

原点到直线的距离为，

所以，的面积为.

（2）

①②为条件，③为结论

令点，，且，

因为三点共线，所以.

又，所以点的坐标为，

所以直线的斜率为.

又，所以.

设点，

因为直线的斜率，

所以，

所以；

①③为条件，②为结论

令点，，且，

因为三点共线，所以.

又，所以点的坐标为，

又，点Q在x轴正半轴上，所以，

所以.

又，

所以，

所以，；

②③为条件，①为结论

令点，，且，不妨设.

因为三点共线，

所以，且.

因为，点Q在x轴正半轴上，所以.

因为，所以.

又，

所以，，且，

所以，，即.

【点睛】思路点睛：①②为条件，③为结论：先得出的斜率，根据，得出..然后根据两点坐标，表示出斜率，即可推出点的坐标.

3．（2023·广东·统考模拟预测）已知圆O的方程为，P为圆上动点，点F坐标为，连OP，FP．过点P作直线FP的垂线l，线段FP的中垂线交OP于点M，直线FM交l于点A．

(1)求点A的轨迹方程；

(2)记点A的轨迹为曲线C，过点作斜率不为0的直线n交曲线C于不同两点S，R，直线与直线n交于点H，记．，问：是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

【答案】(1)

(2)1；理由见解析

【分析】（1）根据椭圆的定义，即可求轨迹方程；

（2）首先根据面积公式，理由线段比值表示，再设直线，与椭圆方程联立，利用坐标表示.

【详解】（1）记，则为的中点，为中点，

所以，

，

，

所以点的轨迹是长轴长为4，焦距为2的椭圆，

所以点的轨迹方程为；

（2）设到直线的距离为，设，，,

，，

，

设直线，令，，

进而，

联立，消去，得，

所以，，，

所以，

所以是定值为1.

4．（2023·重庆·统考模拟预测）已知双曲线的实轴长为6，左右焦点分别为，，点在双曲线上，轴，且.

(1)求双曲线及其渐近线的方程；

(2)如图，若过点斜率为的直线与双曲线及其两条渐近线从左至右依次交于，，，四点，且，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意可得，求出，再由双曲线的定义求出，即可得出方程；

（2）设出直线的方程，联立直线与双曲线的方程，根据韦达定理及弦长公式求出，

再联立直线与渐近线方程得出的横坐标，再由弦长公式求出，再由即可得解.

【详解】（1）由题意知，，即，

由轴，可知，代入双曲线方程可得，

又，即，解得，

所以双曲线的方程为.

（2）由（1）可知，，所以，

设直线方程为，，，，，

由，可得，

，，

，

由可知双曲线的渐近线方程为和，

联立可得，同理可得

由可得，，

化简可得，即，

整理得，，解得.

5．（2023·辽宁·校联考二模）已知椭圆的离心率为，直线，左焦点F到直线l的距离为．