高数九章极值与值.pptx

第九章

第八节

一、多元函数的极值

二、最值应用问题

三、条件极值

多元函数的极值及其求法

一、多元函数的极值

定义:若函数

则称函数在该点取得极大值

例如:

在点(0,0)有极小值;

在点(0,0)有极大值;

在点(0,0)无极值.

极大值和极小值

统称为极值,

使函数取得极值的点称为极值点.

的某邻域内有

(极小值).

说明:使偏导数都为0的点称为驻点.

例如,

定理1(必要条件)

函数

偏导数,

证:

据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.

取得极值,

取得极值

取得极值

但驻点不一定是极值点.

有驻点(0,0),

但在该点不取极值.

且在该点取得极值,

则有

存在

故

时,具有极值

定理2(充分条件)

的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,

令

则:1)当

A0时取极大值;

A0时取极小值.

2)当

3)当

时,没有极值.

时,不能确定,需另行讨论.

若函数

且

例1.

求函数

解:第一步求驻点.

得驻点:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).

第二步判别.

在点(1,0)处

为极小值;

解方程组

的极值.

求二阶偏导数

在点(3,0)处

不是极值;

在点(3,2)处

为极大值.

在点(1,2)处

不是极值;

例2.讨论函数

及

是否取得极值.

解:显然(0,0)都是它们的驻点,

在(0,0)点邻域内的取值

,因此z(0,0)不是极值.

因此

为极小值.

正

负

0

在点(0,0)

并且在(0,0)都有

可能为

二、最值应用问题

函数f在闭域上连续

函数f在闭域上可达到最值

最值可疑点

驻点

边界上的最值点

特别,当区域内部最值存在,且只有一个极值点P时,

为极小值

为最小值

(大)

(大)

依据

例3.

解:设水箱长,宽分别为x,ym,则高为

则水箱所用材料的面积为

令

得驻点

某厂要用铁板做一个体积为2

根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,

的有盖长方体水

箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?

因此可

断定此唯一驻点就是最小值点.

即当长、宽均为

高为

时,水箱所用材料最省.

例4.有一宽为24cm的长方形铁板,

把它折起来做成

解:设折起来的边长为xcm,

则断面面积

x

24

一个断面为等腰梯形的水槽,

倾角为,

积最大.

为

问怎样折法才能使断面面

令

解得:

由题意知,最大值在定义域D内达到,

而在域D内只有

一个驻点,

故此点即为所求.

三、条件极值

极值问题

无条件极值:

条件极值:

条件极值的求法:

方法1代入法.

求一元函数

的无条件极值问题

对自变量只有定义域限制

对自变量除定义域限制外,

还有其他条件限制

例如,

转化

方法2拉格朗日乘数法.

分析：如方法1所述,

则问题等价于一元函数

可确定隐函数

的极

故极值点必满足

记

例如,

值问题,

故有

引入辅助函数

辅助函数F称为拉格朗日(Lagrange)函数.

利用拉格

极值点必满足

则极值点满足:

朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.

推广

拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.

设

解方程组

可得到条件极值的可疑点.

例如,求函数

下的极值.

在条件

例5.

要设计一个容量为

则问题为求x,y,

令

解方程组

解:设x,y,z分别表示长、宽、高,

下水箱表面积

最小.

z使在条件

水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？

的长方体开口水箱,

试问

得唯一驻点

由题意可知合理的设计是存在的,

长、宽为高的2倍时，所用材料最省.

因此,当高为

思考:

1)当水箱封闭时,长、宽、高的尺寸如何?

提示:利用对称性可知,

2)当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时,欲使造价

应如何设拉格朗日函数?长、宽、高尺寸如何?

提示:

长、宽、高尺寸相等.

最省,

内容小结

1.函数的极值问题

第一步利用必要条件在定义域内找驻点.

即解方程组

第二步利用充分条件判别驻点是否为极值点.

2.函数的条件极值问题

(1)简单问题用代入法

如对二元函数

(2)一般问题用拉格朗日乘数法

设拉格朗日函数

如求二元函数

下的极值,

解方程组

第二步判别

•比较驻点及边界点上函数值的大小

•根据问题的实际意义确定最值

第一步找目标函数,确定定义域(及约束条件)

3.函数的最值问题

在条件

求驻点.