2025版高中数学第一章导数及其应用1.4生活中的优化问题举例练习含解析新人教A版选修2_2.docxVIP

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1.4生活中的优化问题举例

课时过关·实力提升

基础巩固

1.已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-13x3+81x-234,则使该生产厂家获得

A.13万件 B.11万件

C.9万件 D.7万件

解析:y=-x2+81,令y=0,得x=9(x=-9舍去),且经探讨知x=9是函数的极大值点,所以厂家获得最大年利润的年产量是9万件.

答案:C

2.某产品的销售收入y1(单位:万元)是产量x(单位:千台)的函数,且关系式为y1=17x2(x0),生产成本y2(单位:万元)是产量x(单位:千台)的函数,且关系式为y2=2x3-x2(x0).为使利润最大,应生产()

A.6千台 B.7千台

C.8千台 D.9千台

解析:设利润为y,则y=y1-y2=17x2-(2x3-x2)=-2x3+18x2(x0),

所以y=-6x2+36x=-6x(x-6).

令y=0,解得x=0(舍去)或x=6,经检验知x=6既是函数的极大值点也是函数的最大值点.

答案:A

3.某城市在发展过程中,交通状况渐渐受到大家更多的关注,据有关统计数据显示,从上午6时到9时,车辆通过该市某一路段的用时y(单位:分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用如下函数表示:y=-18t3-

A.6时 B.7时

C.8时 D.9时

解析:y=-

令y=0,解得t=8或t=-12(舍去),

当0t8时,y0;当t8时,y0,

所以t=8为函数的最大值点.

故当t=8时,通过该路段用时最多.

答案:C

4.某厂要围建一个面积为512m2的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其他三边要砌新墙,当砌新墙所用的材料最省时,堆料场的长和宽分别为()

A.32m、16m

B.64m、8m

C.25.6m、20m

D.51.2m、10m

解析:设新建堆料场与原墙平行的一边长为xm,与原墙垂直的一边长为ym,则xy=512,新建围墙的长l=x+2y=512y+2y

令l=-512y2+2

当0y16时,l0;

当y16时,l0.

所以当y=16时,函数l=512y+2y(y0)取得微小

答案:A

5.某莲藕种植塘每年的固定成本是10000元,每年最大规模的种植量是40000千克,每种植一千克藕,成本增加0.5元.已知收入函数是R(q)=-13q3+10000q2+4020001

A.10000 B.12000 C.20000 D.20100

解析:由题意,得利润L=-13q3+10000q2+

=-13q3+10000q2+2010000q-

∴L=-q2+20000q+2010000=-(q-20100)(q+100),

∴该函数在(0,20100)内单调递增,在(20100,40000)内单调递减,

∴当q=20100时,利润最大.

答案:D

6.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使水桶的容积是27π,且用料最省,则水桶的底面半径为.?

解析:用料最省,即水桶的表面积最小.

设圆柱形水桶的表面积为S,底面半径为r(r0),则水桶的高为

所以S=πr2+2πr×27r2=πr2+54πr

令S=0,解得r=3.

当0r3时,S0;当r3时,S0.

所以当r=3时,圆柱形水桶的表面积最小,即用料最省.

答案:3

7.已知矩形的两个顶点位于x轴上,另两个顶点位于抛物线y=4-x2在x轴上方的曲线上,则这个矩形面积最大时的长和宽分别为.?

解析:设第一象限中位于抛物线上的矩形的顶点为(x,y),其中0x2,y0,则在抛物线上的另一个顶点为(-x,y),在x轴上的两个顶点分别为(-x,0),(x,0).

设矩形的面积为S,则S=2x(4-x2)(0x2),

则S=8-6x2.

令S=0,得x=233或

当0x233

当233x

因此,当x=233时,S取得极大值,也就是最大值,此时,2x

所以矩形的长和宽分别为83

答案:8

8.一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比.已知速度为10海里/时时,燃料费是6元/时,而其他与速度无关的费用是96元/时,问当轮船的速度是多少时,航行1海里所需的费用总和最小?

分析:本题主要考查利用导数解决实际问题.应当先求出比例系数,再利用已知条件将航行1海里的费用总和表示为速度的函数,利用导数求解.

解:设速度为v海里/时的燃料费是p元/时,由题设的比例关系得p=k·v3,其中k为比例系数.

由v=10,p=6,得k=6103=0.006,于是p=

设船的速度为v海里/时时,航行1海里所需的总费用为q元,而每小时所需的总费用是(0.006v3+96)元,航行1海里所需时间为1v时,所以航行1海里的总费用为q=1v(0.0