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一、选择题：（每小题0分，共30分）
1．下列求导运算正确的是（）
A．(cosπ
B．(e
C．(lnx)′=1
D．（3x）′＝3x
2．曲线y＝xex﹣1在点（1，1）处的切线方程为（）
A．y＝2x+1 B．y＝2x﹣1 C．y＝x+2 D．y＝x﹣2
3．已知f（x）＝x2+3xf′（1），则f′（2）＝（）
A．1 B．2 C．4 D．8
4．已知f（x）＝x3+ax2+3x﹣9在x＝﹣3处取得极值，则a值为（）
A．5 B．4 C．3 D．2
5．函数f（x）＝x+2cosx在区间[?π
A．?π2 B．2 C．π6
6．已知（1+x）n的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式各项的二项式系数之和为（）
A．29 B．210 C．211 D．212
7．已知函数f（x）＝x（lnx﹣ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是（）
A．（﹣∞，0） B．（0，12） C．（0，1）
8．已知函数f（x）=1x?lnx?1，则y＝f（
A． B．
C． D．
9．若函数f（x）＝x2+alnx﹣x+1（a∈R）在[1，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（）
A．[﹣1，+∞） B．（﹣1，+∞） C．[18，+∞)
10．已知函数f(x)=ln(1+x)，x＞0kx，x≤0，曲线y＝f（x）与直线y=x
A．[12，+∞) B．(1
二、填空题：（每小题0分，共24分）
11．(3x?y)5展开式中x2y3
12．若(x2+1)?(x?1)8=a0+a1(x?2)+
13．四大名著是中国文学史上的经典作品，是世界宝贵的文化遗产．在学校举行的“文学名著阅读月”活动中，甲、乙、丙、丁、戊五名同学相约去学校图书室借阅四大名著《红楼梦》《三国演义》《水浒传》《西游记》（每种名著至少有5本），若每人只借阅一本名著，则不同的借阅方案种数为．（用数字作答）
14．若函数f（x）＝x3﹣ax2﹣6x+3的单调减区间是（﹣1，2），则实数a＝．
15．若函数f（x）＝x﹣lnx﹣2在区间（k，k+1）（k∈N*）上有零点，则实数k＝．
16．已知x∈R，设函数f(x)=x2?2ax+2a，x≤1x?alnx，x＞1，若关于x的不等式f（x）≥0在R上恒成立，则
三、解答题：（本题共4小题，共46分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，激发干事创业热情．某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答．已知小明只能答对其中的6道，试求：
（1）抽到他能答对题目数X的分布列和期望；
（2）求小明至少答对一道题的概率．
18．已知函数f（x）＝4x3﹣3x2﹣18x+27，x∈R．
（1）求f（x）的单调区间与极值；
（2）求f（x）在区间[0，3]上的最大值与最小值．
19．已知f（x）＝xlnx，g（x）＝x3+ax2﹣x+2．
（1）若a＝1，求函数y＝g（x）的图象在x＝0处的切线方程；
（2）对一切实数x∈（0，+∞），不等式2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．
20．已知函数f(x)=?12x2+ax?lnx
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当函数f（x）有两个极值点x1，x2且x1＜x2．证明：4f（x1）﹣2f（x2）≤1+3ln2．
2023-2024学年天津一中高二（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
A
A
A
B
B
A
A
A
一、选择题：（每小题0分，共30分）
1．下列求导运算正确的是（）
A．(cosπ
B．(e
C．(lnx)′=1
D．（3x）′＝3x
【考点】简单复合函数的导数．
【答案】C
【分析】根据基本初等函数的导数公式和导数的乘法法则求导判断．
【解答】解：(cosπ
(e
(lnx)′=1
（3x）′＝3xln3，
只有C正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查导数的运算，属于基础题．
2．曲线y＝xex﹣1在点（1，1）处的切线方程为（）
A．y＝2x+1 B．y＝2x﹣1 C．y＝x+2 D．y＝x﹣2
【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程．
【答案】B
【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程．
【解答】解：y＝xex﹣1的导数为y′＝（1+x）ex﹣1，
可得曲线y＝xex﹣1在点（1，1）处的切线斜率为2，
曲线y＝xex﹣1在点（1，1）处的切线方程为y﹣1＝2（x﹣1），
即为y＝2x﹣1．
故
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