高等数学简明教程 第4版 第2章 导数与微分.ppt

例2-40求y=11x10+10x9+9x8+…+2x+1的10阶导数y(10).解y(10)=(11x10)(10)+(10x9)(10)+…+(2x)(10)+(1)(10)由上例的结果知,低于10次幂的项的10阶导数为零,所以y(10)=(11x10)(10)=11×10!=11!本节介绍微分学的另一个基本概念——微分.实际中有时需要考虑在自变量有微小变化时函数的改变量的计算问题.通常函数改变量的计算比较复杂,因此需要建立函数改变量近似值的计算方法,使其既便于计算又有一定的精确度,这就是本节要讨论的问题.微分2.4.1两个实例1.面积改变量的近似值设正方形的面积为A,当边长由x变到x+Δx时,面积A有相应的改变量ΔA,如图2-9所示阴影部分的面积,则ΔA=(x+Δx)2-x2=2xΔx+(Δx)2图2-9由此可以看出,函数的导数等于函数的微分与自变量的微分之商,因此也称导数为微商.求导数与求微分的运算统称为微分法.应当注意,微分与导数虽然有着密切的联系,但它们是有区别的:导数是函数在一点处的变化率,导数的值只与x有关;而微分是函数在一点处由自变量改变量所引起的函数改变量的近似值,微分的值与x和Δx都有关.图2-102.4.4微分的运算1.微分的基本公式和运算法则因为dy=f(x)dx,所以计算微分便归结为计算导数.由导数的基本公式和运算法则,可以容易推出微分的基本公式和运算法则,见表2-2.本题在讨论分段点处的导数时,也可先考察函数在该点的连续性,容易看出函数在该点不连续,如图2-11所示,从而函数在该点不可导.易错提醒:分段函数在分段点处的导数需用导数的定义来求,本题若用导数的运算法则分段求导,则会得到错误的结论.图2-113.函数的极限、连续、可导、可微几个概念之间的关系?解得x0=e,y0=e所求切线方程为y-e=2(x-e)即y-2x+e=0如图2-5所示.图2-5由式(1)、式(2)得k=±4.所求切线方程为4x+y+2=0或4x-y-2=0如图2-6所示.导数运算图2-6例2-17求函数y=sin2(cos3x)的导数.解设y=u2,u=sint,t=cosv,v=3x,则yx=yuuttvvx =(u2)u(sint)t(cosv)v(3x)x =2ucost(-sinv)×3 =2sintcost(-sinv)×3=-3sin2tsinv =-3sin(2cosv)sinv =-3sin(2cos3x)sin(3x)复合层次比较清楚以后,可不必设中间变量,直接由外往里逐层求导.例2-37已知y=4x3+e3x,求y,y″及y?.解y=4×3x2+3e3x=12x2+3e3xy″=24x+32e3xy?=24+33e3x第2章导数与微分在自然科学的许多领域中都需要从数量上研究函数相对于自变量变化的快慢程度,所有这些问题都归结为函数的变化率,即导数。本章我们将从几个实际问题入手引出导数的概念,然后介绍导数的基本公式和运算法则。导数的概念3.切线及其斜率什么样的直线是曲线在某点处的切线呢?设曲线y=f(x)的图形如图2-1所示,点M0(x0,y0)是曲线的一个定点,在曲线上另取一动点M(x0+Δx,y0+Δy),作割线M0M,让点M沿曲线向点M0移动,则割线M0M的位置也随之变动,当点M沿曲线无限趋向点M0时,割线M0M趋向于极限位置——M0T,直线M0T就是曲线在点M0处的切线.图2-1割线到切线的变化过程如图2-2所示.上面三个例题虽然具体含义不同,但从抽象的数量关系来看,它们的实质是一样的,都归结为计算函数改变量与自变量改变量的比,当自变量的改变量趋于零时的极限,这种特殊的极限就称为函数的导数.图2-22.1.3可导与连续的关系定理1如果函数f(x)在x0处可导,则它在x0处一定连续.定理的证明见本章2.5节提示与提高9.这个定理的逆定理不成立,即如果函数f(x)在x0处连续,则函数f(x)在x0处未必可导.图2-3图2-4

如果对每一个函数都按导数的定义来求导,其计算将会比较复杂,甚至比较困难.因此,有必要找到一些基本公式与运算法则,借助它们简化函数的求导计算.2.2.1基本初等函数的求导公式表2-1给出了基本初等函数的导数公式.这些公式有的在前一节中已经得到,有的将随着导数运算法则的引入而得到,有的留给读者推导.导数的基本公式和运算法则表2-1导数基本公式