曲线积分计算法2016-2高等数学a 11 ct新改.pptx

1习题课一、曲线积分的计算法二、曲面积分的计算法线面积分的计算第十一章

2一、曲线积分的计算法1.基本方法曲线积分第一类(对弧长)第二类(对坐标)(1)选择积分变量转化定积分用参数方程用直角坐标方程用极坐标方程(2)确定积分上下限第一类:下小上大第二类:下始上终习题:P246题3(1),（2），(3),(6)

3考题1、L是抛物线上点与之间的一段弧，则曲线积分2、L为A（0,0）到B（4,3）的直线,则B

43、曲线L的方程为起点是终点是(1,0),则结合定积分的对称性A解

5P2463(6).计算其中?由平面y=z截球面解:原式=所得，从z轴正向看沿逆时针方向.

6(2)利用对称性简化计算;(3)利用积分与路径无关的等价条件;(4)利用格林公式(注意加辅助线的技巧);(5)利用斯托克斯公式;(6)利用两类曲线积分的联系公式.2.基本技巧(1)积分弧段方程的代入，可以简化计算

71、L为圆周则2、设为顶点的L是以ABCD正方形正向，则0考题结合格林公式其中为曲线解例1(1)积分弧段方程的代入，可以简化计算3、设平面曲线L的下半圆周为则B

8(2)利用对称性简化计算;1、设平面曲线L为则例2计算其中?为曲线解利用轮换对称性,有A考题

9(3)利用积分与路径无关的等价条件;1、计算曲线积分其中L是上由点(0,0)到(1,1)的一段弧.解其中点因为所以线积分与路径无关.添加辅助线则考题在圆周

102、证明曲线积分在整个xoy面内与路径无关，并计算积分值.解所以在整个xOy面内积分与路径无关.P?2xy?y4?3?Q?x2?4xy3?显然P、Q在整个xOy面内具有一阶连续偏导数?并且在整个xOy面内成立.则

11例3计算其中L是沿逆时针方向以原点为中心、解法1令则这说明积分与路径无关,故a为半径的上半圆周.

12解法2它与L所围区域为D,(利用格林公式)思考:若L改为顺时针方向,如何计算该积分:则添加辅助线段解

13(4)利用格林公式(注意加辅助线的技巧);1、设曲线积分其中L是以为顶点的三角形的正向边界，(A)6；(B)8；(C)10；(D)12考题D则2、计算曲线积分：其中沿逆时针方向.解方法一：直接方法做方法二积分曲面方程的代入

14其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线，L的方向为逆时针方向.3、计算记L所围成的区域为D.时，解当由格林公式得当时，记其中包含在L内，并取其顺时针方向.

15其中L为圆周按逆时针方向绕行.解此时不能用格林公式可以用格林公式例4注意：弧段方程代入练习题:P246题3.(5),5,6;11.

16如图,适当选取作圆周使L1包含在L的内部，并取L1为顺时针方向.则内有连续的一阶偏导数,且L,L1构成D的正边界.作业7计算曲线积分其中L是在圆周L的方向为逆时针方向.解由格林公式

17所以常见错解错误原因P,Q及一阶偏导数在(0,0)点没有定义,所以不能直接使用格林公式.练习题:P246题3.(5),5,6;11.目录

18二、曲面积分的计算法1.基本方法曲面积分第一类(对面积)第二类(对坐标)转化二重积分(1)选择积分变量—代入曲面方程(2)积分元素投影第一类:始终非负第二类:有向投影(3)确定二重积分域—把曲面积分域投影到相关坐标面

191、求曲面积分其中为锥面在柱面内的部分.在xoy面上的投影区域为解考题

20作业12.求抛物面壳的质量,所以抛物面壳的质量为此壳的面密度为的投影区域为解

21作业13.计算下列对坐标的曲面积分:其中的下半(1)部分的下侧；解其投影区域为：

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232.基本技巧(2)利用对称性简化计算(3)利用高斯公式注意公式使用条件添加辅助面的技巧(辅助面一般取平行坐标面的平面)(4)两类曲面积分的转化(1)积分曲面方程的代入，可以简化计算

241、设为球面则(1)积分曲面方程的代入，可以简化计算考题A

25(2)利用对称性简化计算其中为锥面被柱面所截得的有限部分.作业11方法1且被积函数xy及yz是关于y的奇函数,故解方法2如图,的投影区域为

26原式

27(2)其中是柱面被平面z=0及z=3所截得的在第一卦限内的部分的前侧；由于柱面在xOy面上的投影为圆周曲线,面上的投影分别为解所以作业13也可用轮换对称性

28(3)其中是平面所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.其中而由对称性解如图,设作业13可以用高斯公式

29于是原式