多元复合函数的求导法则.pptVIP

第九章

第四节多元复合函数

的求导法则

一链式法则

二全微分形式不变性

三小结

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一、链式法则

复习：一元复合函数求导的链式法则

yf(x),xg(t),yf(g(t)).

dydydx

y——x——t

dtdxdt

推广:多元复合函数求导的链式法则

1.中间变量均为一元函数;

2.中间变量均为多元函数;

3.中间变量既有一元函数又有多元函数.

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情形1复合函数的中间变量均为一元函数的

情形.中间变量为一元函数

先研究zf(u,v),u(t),v(t)的情形.

定理1如果函数u(t)及v(t)都在点t可导,

函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数,则

复合函数zf[(t),(t)]在对应点t可导,且其导数

可用下列公式计算:

dzzduzdv

.(1)

dtudtvdt

证设t获得增量t,

则u(tt)(t),v(tt)(t);

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由于函数z=f(u,v)在点(u,v)有连续偏导数

zz可微

zuvuv,

uv12

当Δu0,Δv0时,10,20

zzuzvuv

.

tutvt1t2t

当Δt0时,u0,v0,

uduvdv

,,

tdttdt

dzzzduzdv

lim.

dtt0tudtvdt

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定理推广

复合函数的三中个间中变间量变多量于两个的情况.

如zf(u,v,w),uu(t),vv(t),ww(t),

u

变量树图zvt

w

dzzduzdvzdw

.

dtudtvdtwdt

导数dz

dt

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解1

dz

例1设zuvsin,uet,vcost,t,求.

dt

dzzduzdvzd



dtudtvdtdtu

tzvt