高等数学简明教程 第4版 配套课件.ppt

高等数学简明教程第4

版配套课件

§预备知识

§

区间

§区间是高等数学中常用的实数集,包括四种有限区间和五种无穷区间.

§1.有限区间设a,b为两个实数,且ab,则满足不等式a≤x≤b的所有实数x的集

合称为一个闭区间,记作

§[a,b]={x|a≤x≤b}

§类似地,有开区间和半开区间

§(a,b)={x|axb}

§[a,b)={x|a≤xb}

§(a,b]={x|ax≤b}

§2.无穷区间满足不等式-∞x+∞的所有实数x的集合称为无穷区间,记作

§(-∞,+∞)={x|-∞x+∞}

§类似地,有半无穷区间

§(a,+∞)={x|ax+∞}

§[a,+∞)={x|a≤x+∞}

§(-∞,b)={x|-∞xb}

§(-∞,b]={x|-∞x≤b}

§邻域

§设δ0,x0为实数,则集合{x||x-x0|δ}称为x0的δ邻域.由|x-x0|δ即x0-

δxx0+δ可知,x0的δ邻域是以x0为中心,长度为2δ的开区间(x0-δ,x0+δ).

刚起步的学生需要知道比事实和技巧更多的东西:吸收一种数学

的世界观,一组判断问题是否有意思的准则,一种向别人传递数学

知识、数学热情和数学味道的方法.

格列夫斯

本章将在复习和加深函数有关知识的基础上着重讨论函数的极限,并介

绍函数的连续性.

函数

§函数是一种反映变量之间相依关系的数学模型.

§在自然现象或社会现象中,往往同时存在几个不断变化的量,这些变

量不是孤立的,而是相互联系并遵循一定的规律.函数就是描述这种

联系的一个法则.比如,一个运动着的物体,它的速度和位移都是随时

间变化而变化的,它们之间的关系就是一种函数关系.

§1.1.1函数的定义

§定义1设x,y是两个变量,D是给定的一个数集,若对于D中的每一个x

值,根据某一法则f,变量y都有唯一确定的值与它对应,那么,我们就

说变量y是变量x的函数.记作

§y=f(x),x∈D

§式中x称为自变量,y称为因变量.自变量x的变化范围D称为函数y=f(x)

的定义域,因变量y的变化范围称为函数y=f(x)的值域.

§为了便于理解,可以把函数想象成一个数字处理

装置.当输入(定义域的)一个值x,则有(值域的)

唯一确定的值f(x)输出,如图1-1所示。

§函数的定义域、对应关系称为函数的两个要素.

§关于函数的定义域,在实际问题中应根据实际意

义具体确定.如果讨论的是纯数学问题,则往往

取使函数的表达式有意义的一切实数所组成的

集合作为该函数的定义域.

图1-1

§1.1.2函数的表示法

§常用的函数表示法有三种:

§1.表格法

§将自变量的值与对应的函数值列成表的方法,称为表格法.例如,平方

表、三角函数表等都是用表格法表示的函数关系.

§2.图像法

§在坐标系中用图形来表示函数关系的方法,称为图像法.例如,气象台

用自动记录仪把一天的气温变化情况自动描绘在记录纸上,如图1-2

所示.根据这条曲线,就能知道一天内任何时刻的气温了。

图1-2

§将自变量和因变量之间的关系用数学式子来表示的方法,称为公式法.

这些数学式子也称为解析表达式.函数的解析表达式分三种,由此函

数也可分为显函数、隐函数和分段函数.

§(1)显函数函数y由x的解析式直接表示出来.例如,y=x2-1.

§(2)隐函数函数的自变量x和因变量y的对应关系是由方程

F(x,y)=0来确定.例如,y-sin(x+y)=0.

§(3)分段函数函数在其定义域的不同范围内,具有不同的解析表达

式.

§例如,函数