2024年高考数学一轮复习讲练测专题2.2函数的单调性与最值讲文含解析.docVIP

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专题2.2函数的单调性与最值

1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义．

2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.

学问点一函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数

减函数

定义

一般地，设函数f(x)的定义域为I，假如对于定义域I内某个区间D上的随意两个自变量的值x1，x2

当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数

当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数

图象描述

自左向右看图象是上升的

自左向右看图象是下降的

(2)单调区间的定义

假如函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．

学问点二函数的最值

前提

设函数y＝f(x)的定义域为I，假如存在实数M满意

条件

(1)对于随意的x∈I，都有f(x)≤M；

(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M

(3)对于随意的x∈I，都有f(x)≥M；

(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M

结论

M为最大值

M为最小值

【特殊提示】

1.函数y＝f(x)(f(x)0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝eq\f(1,f（x）)的单调性相反.

2.“对勾函数”y＝x＋eq\f(a,x)(a0)的单调增区间为(－∞，－eq\r(a))，(eq\r(a)，＋∞)；单调减区间是[－eq\r(a)，0)，(0，eq\r(a)].

考点一推断函数的单调性

【典例1】【2024年高考北京文数】下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是（）

A． B．y=

C． D．

【答案】A

【解析】易知函数，在区间上单调递减，

函数在区间上单调递增.

故选A.

【方法技巧】函数不含有参数．解决此类问题时，首先确定定义域，然后利用单调性的定义或借助图象求解即可。

【变式1】（2024·黑龙江大庆试验中学模拟）函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是()

A．(－∞，－2) B．(－∞，1)

C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)

【答案】D

【解析】函数y＝x2－2x－8＝(x－1)2－9图象的对称轴为直线x＝1，由x2－2x－80，解得x4或x－2，所以(4，＋∞)为函数y＝x2－2x－8的一个单调递增区间．依据复合函数的单调性可知，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间为(4，＋∞)．

考点二确定含参函数的单调性(区间)

【典例2】（2024·大连二十四中模拟）探讨函数f(x)＝eq\f(ax,x－1)(a≠0)在(－1,1)上的单调性．

【解析】方法一：(定义法)设－1＜x1＜x2＜1，

f(x)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x－1＋1,x－1)))＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x－1)))，

则f(x1)－f(x2)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x1－1)))－aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x2－1)))

＝eq\f(a(x2－x1),?(x1－1)(x2－1)).

由于－1＜x1＜x2＜1，

所以x2－x10，x1－1＜0，x2－1＜0，

故当a0时，f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，

函数f(x)在(－1,1)上单调递减；

当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，

函数f(x)在(－1,1)上单调递增。

方法二：(导数法)f′(x)＝eq\f((ax)′(x－1)－ax(x－1)′,(x－1)2)＝eq\f(a(x－1)－ax,(x－1)2)＝－eq\f(a,(x－1)2)

当a0时，f′(x)＜0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；

当a＜0时，f′(x)0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增。

【方法技巧】推断函数单调性常用以下几种方法：

(1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→推断符号→得出结论．

(2)图象法：假如f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性．

(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间．

(4)性质法：①对于由基本初等函数的和、差构成的函数，依据各初等函数的增减性及f(x)±g(x)增减性质进行推断；

【变式2】（2024·安徽蚌埠二中模拟）推断并证明函数f(x)＝ax2＋eq\f(1,x)(其中1a3)在[1,2]上的单调性．

【解析】函数f(x)＝ax2＋eq\f(1,x)(1