高等数学教学设计——4.2换元积分法.docxVIP

《高等数学》

教学设计

教学内容：

换元积分法

授课单位：

授课教师：

完成时间：

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授课信息

授课内容

授课时长

4.2换元积分法

4学时

授课形式

授课时间

理论课

授课对象

授课地点

内容分析

利用基本积分表与积分的性质，所能计算的不定积分非常有限，因此有必要进一步来研究不定积分的求法，本节把复合函数的微分法反过来用于求不定积分，利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法，称为换元积分法，简称换元法，换元法通常分为两类——第一类换元积分法和第二类换元积分，换元法是解决积分计算的最重要的方法之一。

学情分析

1、知识基础：学生已经学习了基本积分公式和不定积分的性质，会用直接积分法计算简单函数的不定积分；

2、认知能力：具备基本的数学能力和数学素养；

3、学习特点：举一反三、逆向求解问题的能力弱一些。

教学目标

知识目标：

1、熟悉第一、第二换元积分法的适用场景；

2、掌握第一、第二换元积分法求解方法。

能力目标：

能熟练运用换元积分法求不定积分。

素质目标：

1、培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；

2、引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯。

教学重难点

教学重点：

1、第一换元积分法（凑微分法）、第二换元积分法的思想与原理；

2、第一换元积分法（凑微分法）、第二换元积分法的适用场景。

教学难点：

第一换元积分法（凑微分法）、第二换元积分法的使用

教学方法

引导探究法、讲授法、问答法、练习法、演示法

教学设计

课前任务→回顾复习+导入新课（7min）→讲授新课（60min）→巩固提高（20min）→归纳总结（2min）→布置作业（1min）→课后拓展

课程思政设计

换元积分法实际上是一种创造性的思维方法，原本不能用积分公式及性质求解的不定积分，通过“换元”，便能巧妙地利用积分公式及性质求解。基于此，启发学生在日常的学习和生活中，遇到困难时要积极思考，主动创造解决问题的条件，不要被困难束缚，培养学生的创新思维能力以及克服困难的意志。

教学过程

课前环节

教学环节

课前任务

教师活动

学生活动

设计意图

课前导学

1、课前复习：熟记13个基本积分公式。

2、预习新课，完成课前小测试。

1、发布任务：课前两天学习通发布任务，并提醒学生接收任务；

2、跟踪提醒：通过学习通观测任务完成情况，及时督促提醒，把握学生学习难点。

按时完成课前任务，明确本节课个人学习难点。

1、锻炼自学能力：自主学习，掌握易点，发现难点；

2、优化教学策略：依据课前任务完成情况，掌握学情，调整优化教学策略。

课中环节

教学环节

教学内容

教师活动

学生活动

设计意图

导入新课

【回顾复习】

直接积分法；

基本积分公式。

带领学生复习直接积分法；听写基本积分公式，为学习新课打下基础。

认真复习、认真默写公式。

根据“建构主义理论”，任务的目标性与教学情境的创建，使学生带着任务学习，有利于激发学生的求知欲。

【引入新知】

复杂不定积分初探——当被积函数是一复合函数的时候，如何求解其不定积分？

由一个可直接用公式求解的简单函数的不定积分引出如何计算所给的复合函数的不定积分？引导学生积极思考，一步步地引出正确的求解方法——凑微分法。

学生积极思考复习，为学习新知识奠定基础。

探究新知

一、第一换元积分法

1.方法

2.应用

凑微分法的主要适用情形以及具体的求解方法。

1.简单介绍不定积分的凑微分的核心要义；让学生理解应用这种方法求解不定积分的关键是是什么。2.借助例题讲解凑微分法主要解决哪两类问题的求解及具体的求解步骤：

（1）当被积函数是一个单独的复合函数的情形；

（2）当被积函数是一个复合函数和一个简单函数乘积的情形；

总结求解口诀：一看二凑三比较。

1.认真聆听教师对新方法的讲授，体会凑微分法的核心思想。2.边听边总结两类题目凑微分的步骤，注意应用的细节，避免犯错。

教师主导，学生主体，引导探究与讲授相结合，高效讲解本节课核心新知。

第二换元积分法

1.方法

2.应用

第二换元积分法的具体分类：

整体代换法

三角代换法

倒代换（了解即可）。

1.讲解第二换元积分法及主要适用场景。2.借助例题讲解讲解第二换元积分法的具体分类，通过对应例题讲解不同方法的具体实施过程；并且分类总结。

认真聆听教师对新方法的讲授，体会第二换元积分法的核心思想。

巩固提高

利用换元积分法求解不定积分；例题后面跟着练习。

1、引导学生对所学的积分方法进行巩固练习，已达到真正内化的效果；

2、留一定时间给学生做习题练习，并讲评学生的做题情况。

认真聆听教师对例题的讲解；

独立完成练习题，并积极回答，并做好总结整理。

分层次设置练习，循序渐进地使学生及时巩固所学。

课堂小结