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第三节可测函数的构造第四章可测函数可测函数可测集E上的连续函数为可测函数。简单函数是可测函数。可测函数当且仅当可表示成一列简单函数列的极限。问：可测函数是否可表示成一列连续函数的极限？鲁津定理实变函数的三条原理（）（1）任一可测集差不多就是开集（至多可数个开区间的并）。设f(x)为E上几乎处处有限的可测函数，则使得m(E-F)ε且f(x)在F上连续。（去掉一小测度集，在留下的集合上成为连续函数）即：可测函数“基本上”是连续函数.（2）任一点点收敛的可测函数列差不多就是一致收敛列。（3）任一可测函数差不多就是连续函数。引理：证明：由于mE[|f|=+∞]=0，故不妨令f(x)为有限函数(1)当f(x)为简单函数时，单击此处添加标题当x∈Ei时，f(x)=ci，所以f(x)在Fi上连续，而Fi为两两不交闭集，故f(x)在上连续，显然F为闭集，且有单击此处添加标题设f(x)为E上几乎处处有限的可测函数，则使得m(E-F)ε且f(x)在F上连续。单击此处添加标题鲁津定理（Lusin）单击此处添加标题利用(1)的结果知由{φn(x)}在F连续及一致收敛于f(x)，易知f(x)在闭集F上连续。(2)当f(x)为有界可测函数时，存在简单函数列{φn(x)}在E上一致收敛于f(x)，故，f(x)在F上为连续函数。(3)当f(x)为一般可测函数时，作变换则g(x)为有界可测函数，应用(2)即得：g(x)为E上几乎处处有限可测函数,则使得m(E-F)ε且g(x)在F上连续。注1：鲁津定理另外一种形式：若f(x)为上几乎处处有限的可测函数，使得在F上g(x)=f(x)且m(E-F)ε，且sup{g(x)|x∈R}=sup{f(x)|x∈F}；inf{g(x)|x∈R}=inf{f(x)|x∈F}；（对n维空间也成立）【分】由鲁津定理：则及R上的连续函数g(x)则且f(x)在F上连续。下面只需将f(x)延拓为R上的连续函数g(x)即可。若f(x)为上几乎处处有限可测，由于FC为R上的开集，根据R上开集构造，FC可唯一地表示成有限个或可数个互不相交的开区间的并：。ai010302bi则g(x)满足要求，且在R上连续.（参见课本p91）bi单击此处添加正文。ai单击此处添加正文。注2：鲁津定理的逆定理成立。设f(x)为E上几乎处处有限的实函数，若使得m(E-F)ε且f(x)在F上连续，则f(x)在E上为可测函数。例1对ER1上的a.e.有限的可测函数f(x)，
一定存在R上的连续函数列使于E。从而令，即得我们所要的结果。证明：由鲁津定理另外的形式知再由Riesz定理，存在的子列使a.e.于E，习题选讲PART1**
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