新高考数学三轮冲刺提升练习专题10 导数的新定义问题专练（解析版）.doc

专题10导数的新定义问题专练

1．（2023·上海徐汇·统考二模）已知常数k为非零整数，若函数y=fx，x∈0,1满足：对任意x1,x2∈

(1)函数y=2x，x∈0,1是否为L

(2)若y=fx为L1函数，图像在x∈0,1是一条连续的曲线，f0=0，f1=12，且fx在区间

(3)若a0，fx=0.05x2+0.1x+alnx+1，且y=fx为L?1函数，gx=fx，对任意

【答案】(1)是，理由见解析

(2)1

(3)Ma=0.1?

【分析】（1）根据L2

（2）分x0为fx在区间0,1上仅存的极大值点或极小值点讨论单调性，以及根据

（3）首先根据函数fx是L?1函数，构造函数?x

【详解】（1）y=2x是L2

对任意x1,x

=

=?x1

（2）（ⅰ）若x0为fx在区间0,1上仅存的一个极大值点，则fx在0,

由fx0?f0≤

又f0=0，f1=1

所以fx

（ⅱ）若x0为fx在区间0,1上仅存的一个极小值点，则fx在0,

由fx0?f

又f0=0，f1=1

所以fx

综上所述：所求取值范围为12

（3）显然fx为0,1上的严格增函数，任意x1,

此时fx

由fx为L?1函数，得

fx

设?x=fx+1x+1=0.05x2+0.1x+aln

易知上述不等号右边的函数为0,1上的减函数，

所以a≤12?410

此时gx

法1：当0.1x+1=ax+1时，即x+1=10a，由10a≤1，而

法2：g

因为a∈0,110，当x∈0,1，g

由题意得，Ma=g1

【点睛】本题考查函数新定义，以及理由导数研究函数性质，不等式的综合应用问题，本题的关键是理解Lk

2．（2023·上海奉贤·统考二模）设函数y=fx的定义域是R，它的导数是fx．若存在常数m(m∈R)，使得fx+m=?f

(1)求证：函数y=ex不具有性质

(2)判别函数y=sinx是否具有性质Pm

【答案】(1)证明见解析

(2)y=sinx具有性质Pm，

【分析】（1）假设y=ex

（2）假设y=sinx具有性质

【详解】（1）假设y=ex具有性质Pm，即

化简ex+m=?ex得到

因此函数y=ex

（2）假设y=sinx具有性质Pm，即sin

即sinx+m=?cosx对一切x

由cosm=0sinm+1=0，所以当m

所以y=sinx具有性质Pm，m

3．（2022·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）给出以下三个材料：①若函数fx可导，我们通常把导函数fx的导数叫做fx的二阶导数，记作f″x.类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作fx，三阶导数的导数叫做四阶导数……一般地，n?1阶导数的导数叫做n阶导数，记作fnx=fn?1x,n≥4.②若n∈N?，定义n!=n×n?1×n?2×???×3×2×1.③若函数fx在包含x0的某个开区间

(1)求出f1x=sinx在点x=0处的3阶泰勒展开式g1x，并直接写出f

(2)比较（1）中f1x与

(3)证明：ex

【答案】(1)g1x=

(2)答案见解析；

(3)证明过程见解析.

【分析】（1）根据fx在点x=x

（2）令?x=f1x?g1x，利用导数可求得?x在

（3）令φx=f2x?g2x，利用导数可求得φx≥

【详解】（1）∵f1x=cos

∴f10=1

∴g1x

同理可得：g2

（2）由（1）知：f1x=sin

令?x=f

∴?″x

∴?″x在R

∴当x∈?∞,0时，?″x0，?x

∴?x

∴?x在R上单调递增，又

∴当x∈?∞,0时，?x0；当

综上所述：当x0时，f1xg1x；当x

（3）令φx=f

∴φ″x=1?cosx

又φ0=0，∴φx

∴φx≥

∵y=ex在点x=0处的

∴ex=1+

①当x≥0时，由（2）可知，sinx≥x?

②当x0时，设Fx=

Fx=

当x∈?1,0，由（2）可知

F

=1?cosx+1

当x∈(?∞,?1]时，F

所以，x0时，Fx单调递减，从而Fx

综上所述：ex

【点睛】关键点睛：本题考查了导数中的新定义问题，关键是审题时明确n阶泰勒展开式的具体定义；本题在证明不等式成立时的关键是能够根据原函数与其在x=0处的3

4．（2022·上海普陀·统考一模）若函数y=fxx∈D同时满足下列两个条件，则称y=fx在D

①y=fx在D上的导数f

②y=fx在D上的导数f″x

(1)判断函数y=lg1x在区间0,+

(2)设a、b均为实常数，若奇函数gx=2x3+ax2+bx在x=1处取得极值，是否存在实数

(3)设k∈Z且k0，对于任意的x∈0,+∞，不等式1+ln

【答案】(1)函数y=lg1x在区间0,+∞

(2)存在实数c，使得y=gx在区间c,+∞上具有性质M，

(3)k的最大值为3.

【分析】（1）令y=fx=lg1x，按照题目所给定义，求出

（2）先利用