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《一次函数的图象》知识清单

一次函数图象知识清单

一、一次函数图象的基础概念

1、一次函数的定义

一次函数的一般形式是y=kx+b（k，b是常数，k\neq0）。这里的k叫做斜率，它决定了函数图象的倾斜程度；b叫做截距，是函数图象与y轴交点的纵坐标。例如，当k=2，b=3时，函数y=2x+3就是一个一次函数。

特别地，当b=0时，一次函数y=kx（k\neq0）就变成了正比例函数，它是一次函数的特殊形式。比如y=3x就是正比例函数。

2、自变量与函数值

在一次函数y=kx+b中，x是自变量，我们可以给x取不同的值。例如，对于函数y=2x+1，当x=1时，把x=1代入函数中，y=2\times1+1=3，这里的3就是对应的函数值。

自变量的取值范围通常是全体实数，但在实际问题中，可能会根据具体情况有所限制。比如在计算某种商品的利润时，销售量x不能是负数。

二、一次函数图象的绘制

1、两点确定一条直线

要画一次函数y=kx+b的图象，只需要找到两个点就可以了。通常我们找与坐标轴的交点比较方便。

当x=0时，y=b，所以图象与y轴的交点坐标是(0,b)。例如对于函数y=3x-2，与y轴交点就是(0,-2)。

当y=0时，kx+b=0，解这个方程得x=-\frac{b}{k}（k\neq0），所以图象与x轴的交点坐标是(-\frac{b}{k},0)。对于函数y=3x-2，当y=0时，3x-2=0，解得x=\frac{2}{3}，与x轴交点就是(\frac{2}{3},0)。

2、图象的形状和位置

一次函数的图象是一条直线。

斜率k的正负决定了直线的倾斜方向。当k0时，直线从左到右上升，例如y=2x+1的图象是上升的；当k0时，直线从左到右下降，像y=-3x+2的图象就是下降的。

截距b决定了直线与y轴的交点位置。当b0时，直线与y轴交于正半轴；当b=0时，直线过原点；当b0时，直线与y轴交于负半轴。

三、一次函数图象的性质

1、增减性

当k0时，y随x的增大而增大。比如在函数y=4x-3中，随着x的值越来越大，y的值也越来越大。

当k0时，y随x的增大而减小。例如在函数y=-2x+5中，x增大时，y会减小。

2、平行与相交

两条一次函数y=k_1x+b_1和y=k_2x+b_2，当k_1=k_2时，这两条直线平行。例如y=3x+2和y=3x-1的图象是平行的。

当k_1\neqk_2时，两条直线相交。例如y=2x+3和y=-3x+1的图象相交。

四、一次函数图象的实际应用

1、行程问题

假设一个人以速度v匀速行走，行走的路程y与时间x的关系可以用一次函数y=vx来表示（这里截距b=0，因为初始路程为0）。如果这个人先走了一段距离s后才开始匀速行走，那么函数关系就是y=vx+s。

例如，一辆汽车以60千米/小时的速度行驶，已经行驶了20千米，那么路程y（千米）与时间x（小时）的关系就是y=60x+20。

2、经济问题

在商业中，成本y与产量x可能存在一次函数关系。比如生产某种产品，固定成本为a元，每生产一个产品的变动成本为b元，那么总成本y与产量x的关系就是y=bx+a。

例如，生产一种文具，固定成本是500元，每个文具的变动成本是2元，那么总成本y（元）与产量x（个）的关系就是y=2x+500。

五、一次函数图象与方程、不等式的关系

1、与方程的关系

一次函数y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标就是方程kx+b=0的解。例如函数y=3x-6，当y=0时，3x-6=0，解得x=2，所以方程3x-6=0的解是x=2。

2、与不等式的关系

对于不等式kx+b0（或kx+b0），其解集可以通过观察一次函数y=kx+b的图象得到。当k0时，y=kx+b0的解集是图象在x轴上方部分对应的x的取值范围；当k0时，y=kx+b0的解集是图象在x轴下方部分对应的x的取值范围。例如对于函数y=2x-4，求2x-40的解集，因为k=20，观察图象可知，当x2时，y0，所以不等式2x-40的解集是x2。

六、一次函数图象的平移

1、上下平移

对于一次函数y=kx+b，向上平移m个单位后得到的函数是y=kx+b+m；向下平移m个单位后得到的函数是y=kx+b-m。例如把函数y=3x+2向上平移3个单位，得到y=3x+2+