一节可测函数及性质实变.pptx

第一节可测函数及性质第四章可测函数

新的积分（Lebesgue积分,从分割值域入手）yiyi-1用mEi表示Ei的“长度”问题：怎样的函数可使Ei都有“长度”(测度)?

1可测函数定义例(1)零集上的任何函数都是可测函数。注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集定义：设f(x)是可测集E上的实函数(可取)，若可测，则称f(x)是E上的可测函数

(2)简单函数是可测函数可测函数注：Dirichlet函数是简单函数01若(Ei可测且两两不交），f(x)在每个Ei上取常值ci，则称f(x)是E上的简单函数；

定义设E是中的点集，是定义在E上的函数，，如果对于任意，存在，使得当时，有则称在点相对于E连续。如果对任意点相对于E连续，则称在E上处处连续，或说是E上的连续

（3）可测集E上的连续函数f(x)必为可测函数

对比：设f(x)为(a,b)上有限实函数，f(x)在处连续(对闭区间端点则用左或右连续)设f(x)为E上有限实函数，称f(x)在处连续

可测集E上的连续函数f(x)定为可测函数

证明：任取x∈E[fa],则f(x)a,由连续性假设知，()x０f(x0)+εf(x0)f(x0)-εa则G为开集，当然为可测集，且

⑷R中的可测子集E上的单调函数f(x)必为可测函数。aIax1x2由f单调增知下面的集合为可测集证明：不妨设f单调增，对任意a∈R

⒊可测函数的等价描述证明：利用（1）与（4），（2）与（3）互为余集，以及⒈定义：设f(x)是可测集E上的实函数，则f(x)在E上可测

对前面等式的说明([a-1/na([aa+1/n

⒋可测函数的性质⑴可测函数关于子集、并集的性质反之，若,f(x)限制在En上是可测函数，则f(x)在E上也是可测函数。即:若f(x)是E上的可测函数,可测，则f(x)限制在E1上也是可测函数；

若m(E[f≠g])=0,则称f(x)=g(x)在E上几乎处处成立,记作f(x)=g(x)a.e.于E。（almosteverywhere）注：在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性证明：令E1=E[f≠g]，E2=E[f=g]，则mE1=0从而g(x)在E1上可测，即：设f(x)=g(x)a.e.于E，f(x)在E上可测，则g(x)在E上也可测注：用到了可测函数关于子集、并集的性质另外f(x)在E2上可测，从而g(x)在E2上也可测，进一步g(x)在E=E1∪E2上也可测。

⑵可测函数类关于四则运算封闭

即:若f(x),g(x)是E上的可测函数,则f(x)+g(x),f(x)-g(x),f(x)g(x),f(x)/g(x)仍为E上的可测函数。a-g(x)rf(x)

类似可证：设f(x),g(x)是E上可测函数，则为可测集。证明中利用了Q是可数集和R中的稠密集两个性质a-g(x)rf(x)

若f(x),g(x)是E上的可测函数,则f(x)g(x)仍为E上的可测函数。作业：若f(x),g(x)是E上的可测函数,则f(x)-g(x),f(x)/g(x)为E上的可测函数再利用f(x)g(x)={(f(x)+g(x))2-(f(x)-g(x))2}/4即可证明：首先f2(x)在E上可测，因为对任意a∈R

⑶可测函数类关于确界运算和极限运算封闭。

推论：可测函数列的上极限函数、下极限函数、极限函数（若存在）仍为可测函数（连续函数列的极限函数不一定为连续函数）。若fn(x)是E上的可测函数,则下列函数仍为E上的可测函数。

引理假设是闭集，是F上的连续函数序列，且一致收敛到则在F上连续。证明：对任意，由下列不等式

对上式的说明：下确界：([a