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平面向量正交分解及坐标表示说课稿

一、教材分析

1.课程标准要求

-理解平面向量的正交分解及其坐标表示。通过向量的正交分解，体会平面向量基本定理的作用，为后续向量的运算奠定基础。

2.主要内容

-平面向量的正交分解是将平面向量分解为两个互相垂直的向量的线性组合。在此基础上引出向量的坐标表示，即如果\(\vec{i}\)、\(\vec{j}\)是与\(x\)轴、\(y\)轴方向相同的单位向量，对于平面内的任一向量\(\vec{a}\)，有\(\vec{a}=x\vec{i}+y\vec{j}\)，那么\((x,y)\)叫做向量\(\vec{a}\)的坐标，记作\(\vec{a}=(x,y)\)。

-还包括如何根据向量的起点和终点坐标求向量的坐标等相关内容。

3.重难点

-教学重点

-平面向量正交分解的概念和向量坐标表示的理解。

-根据向量的起点和终点坐标求向量的坐标。

-教学难点

-理解向量坐标表示的意义以及它与向量的有向线段表示的联系。

-如何从向量的几何表示自然地过渡到坐标表示，并让学生理解坐标表示的合理性。

二、教学目标

1.知识与技能目标

-学生能够理解平面向量正交分解的概念。

-掌握平面向量的坐标表示，能准确求出给定向量的坐标。

2.过程与方法目标

-通过探究性学习，提高学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

-经历从向量的几何表示到坐标表示的转化过程，体会数学中的转化思想。

3.情感态度与价值观目标

-激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。

-让学生在合作学习中体会到团队协作的重要性。

三、教学方法

探究式学习、小组合作式学习。

四、教学过程

1.导入新课（5分钟）

-教师活动：

-教师在黑板上画出一个平面向量\(\vec{a}\)，然后提问：“同学们，我们之前已经学习了向量的一些基本概念和运算，那大家思考一下，有没有办法把这个向量分解成其他更简单的向量呢？就像我们把一个力分解成不同方向的分力一样。”

-学生活动：

-学生思考并尝试回答，可能会提出一些简单的分解方法，但不一定是正交分解。

-教师引导：

-教师对学生的回答进行点评和引导，说：“大家的想法都很有创意，那今天我们来学习一种特殊的分解方式——正交分解。”

2.探究平面向量的正交分解（15分钟）

-教师活动：

-教师巡视各小组的讨论情况，适时给予指导。

-学生活动：

-学生分组讨论，尝试找出向量与\(\vec{i}\)和\(\vec{j}\)的关系。

-每个小组推选一名代表准备发言。

-小组代表发言：

-小组代表可能会说：“我们发现这个向量可以沿着\(x\)轴和\(y\)轴方向分解成两个向量，这两个向量分别与\(\vec{i}\)和\(\vec{j}\)有关。”

-教师总结：

-教师根据学生的回答进行总结，说：“非常好，对于平面内的任意向量\(\vec{a}\)，我们都可以找到实数\(x\)和\(y\)，使得\(\vec{a}=x\vec{i}+y\vec{j}\)，这种把向量分解为两个互相垂直的向量的线性组合的方式就叫做正交分解。”

3.探究平面向量的坐标表示（20分钟）

-教师活动：

-教师继续提问：“既然我们有了\(\vec{a}=x\vec{i}+y\vec{j}\)，那我们能不能给这个向量一个更简洁的表示呢？大家再思考一下。”

-教师在黑板上画出几个不同的向量，分别进行正交分解，然后在旁边写出它们对应的\(x\)和\(y\)的值。

-教师引导：“我们发现，当我们确定了\(x\)和\(y\)的值后，这个向量就被唯一确定了，那我们就可以用\((x,y)\)来表示这个向量\(\vec{a}\)，这就是向量\(\vec{a}\)的坐标表示。”

-教师给出课本中的定义：“如果\(\vec{i}\)、\(\vec{j}\)是与\(x\)轴、\(y\)轴方向相同的单位向量，对于平面内的任一向量\(\vec{a}\)，有\(\vec{a}=x\vec{i}+y\vec{j}\)，那么\((x,y)\)叫做向量\(\vec{a}\)的坐标，记作\(\vec{a}=(x,y)\)。”

-教师接着问：“那如果已知向量的起点\(A(x_1,y_1)\)和终点\(B(x_2,y_2)\)，怎么求向量\(\overrightarrow{AB}\)的坐标呢？”

-教师引导学生通过向量的减法\(\overrightarrow{AB}=\vec{b}-\vec{a}\)（其中\(\vec{a}\)是起点\(A\)对应的向量，\(\vec{b}\)是终点\(B\)对应的向量）来推导\(\overrightarrow{AB}=(x_2-x_