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第五讲、不等式

十三、不等式

〔一〕不等关系

了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式〔组〕的实际背景。

〔二〕一元二次不等式

1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型。

2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、一元二次方程的联系。

3.会解一元二次不等式。

〔三〕二元一次不等式组与简单线性规划问题

1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组。

2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。

3.从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。

〔四〕根本不等式：

?会用根本不等式解决简单的最大〔小〕值问题。

不等式的概念与性质

1．实数的大小顺序与运算性质之间的关系：

2．不等式的性质：

〔1〕，〔反对称性〕

〔2〕，〔传递性〕

〔3〕，故〔移项法那么〕

推论：〔同向不等式相加〕

〔4〕，

推论1：

推论2：推论3：

算术平均数与几何平均数

1．常用的根本不等式和重要的不等式

〔1〕当且仅当

〔2〕〔3〕，那么

〔4〕

2最值定理:设

〔1〕如积

〔2〕如积

即:积定和最小，和定积最大

运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等

3均值不等式:

两个正数的均值不等式：

三个正数的均值不等是：

n个正数的均值不等式：

4四种均值的关系：两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是

不等式的证明

不等式的证明方法

〔1〕比拟法：作差比拟：

作差比拟的步骤：

①作差：对要比拟大小的两个数〔或式〕作差

②变形：对差进行因式分解或配方成几个数〔或式〕的完全平方和

③判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号

注意：假设两个正数作差比拟有困难，可以通过它们的平方差来比拟大小

〔2〕综合法：由因导果

〔3〕分析法：执果索因根本步骤：要证……只需证……，只需证……

①“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件

②“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达

〔4〕反证法：正难那么反

〔5〕放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的

放缩法的方法有：

①添加或舍去一些项，如：；；

②将分子或分母放大〔或缩小〕

③利用根本不等式，

如：；

④利用常用结论：

Ⅰ、；

Ⅱ、；〔程度大〕

Ⅲ、；〔程度小〕

〔6〕换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元如：，可设；

，可设()；

，可设；

，可设；

〔7〕构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；

解不等式

1．解不等式问题的分类

(1)解一元一次不等式．(2)解一元二次不等式．

(3)可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式．

①解一元高次不等式；②解分式不等式；③解无理不等式；④解指数不等式；

⑤解对数不等式；⑥解带绝对值的不等式；⑦解不等式组．

2．解不等式时应特别注意以下几点：

(1)正确应用不等式的根本性质．

(2)正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性．

(3)注意代数式中未知数的取值范围．

3．不等式的同解性

(5)|f(x)|＜g(x)与－g(x)＜f(x)＜g(x)同解．(g(x)＞0)

(6)|f(x)|＞g(x)与①f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)(其中g(x)≥0)；②g(x)＜0同解

(9)当a＞1时，af(x)＞ag(x)与f(x)＞g(x)同解，当0＜a＜1时，af(x)＞ag(x)与f(x)＜g(x)同解．

4零点分段法：高次不等式与分式不等式的简洁解法

步骤：①形式：

②首项系数符号0——标准式，假设系数含参数时，须判断或讨论系数的符号，化负为正

③判断或比拟根的大小

绝对值不等式

1．解绝对值不等式的根本思想:解绝对值不等式的根本思想是去绝对值，常采用的方法是讨论符号和平方

2．注意利用三角不等式证明含有绝对值的问题

||a|─|b||?|a+b|?|a|+|b|;||a|─|b||?|a─b|?|a|+|b|;并指出等号条件

3．(1)|f(x)|g(x)?─g(x)f(x)g(x);

(2)|f(x)|g(x)?f(x)g(x)或f(x)─g(x)〔无论g(x)是否为正〕

〔3〕含绝对值的不等式性质〔双向不等式〕

左边在时取得等号，右边在时取得等号

一．不等式的性质：

1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减；2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘；3