2025版高考数学一轮复习第三章 一元函数的导数及其应用第12讲 构造函数及不等式放缩判断函数值大小关系（教师版）.docxVIP

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第12讲构造函数及不等式放缩判断函数值大小关系

（3类核心考点精讲精练）

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例

考点分析

关联考点

2022年新I卷，第7题,5分

构造函数、用导数判断或证明函数的单调性

比较指数幂的大小

比较对数式的大小

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较大，分值为5-12分

【备考策略】1会结合实际情况构造函数

2能用导数证明函数的单调性

3能求出函数的极值或给定区间的最值

4能结合单调性进行函数值大小比较

【命题预测】比较大小的问题，形式灵活、内涵丰富，学生可以综合运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决实际问题，是考查学生的逻辑推理和数学运算等核心素养的有效题型载体。近几年，这类试题得到了高考和各类大型考试命题老师的青睐和追捧。需综合复习

知识讲解

构造函数的重要依据

常见构造类型

常见的指对放缩

，，，

常见的三角函数放缩

其他放缩

，，

，，

，

，

放缩程度综合

，

方法技巧

1构造相同函数，比较不同函数值

2构造不同函数，比较相同函数值

3.构造不同函数，比较不同函数值

这个时候，不等式放缩就是首选之道了!

4.先同构，再构造，再比较

当题干呈现一个较复杂的等式或者不等式关系，并没有前几类那么明显的数字时，往往可能现需要同构(变形)出一个函数之后再来比较大小.

考点一、构造函数利用单调性判断函数值大小关系

1．（2022·全国·统考高考真题）设，则（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】构造函数，导数判断其单调性，由此确定的大小.

【详解】方法一：构造法

设，因为，

当时，，当时，

所以函数在单调递减，在上单调递增，

所以，所以，故，即，

所以，所以，故，所以，

故，

设，则,

令，，

当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，

又，

所以当时，，

所以当时，，函数单调递增，

所以，即，所以

故选：C.

方法二：比较法

解：，，，

①，

令

则，

故在上单调递减，

可得，即，所以；

②，

令

则，

令，所以，

所以在上单调递增，可得，即，

所以在上单调递增，可得，即，所以

故

2．（2021·全国·统考高考真题）设，，．则（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.

【详解】[方法一]：

，

所以；

下面比较与的大小关系.

记，则，，

由于

所以当0x2时，，即，，

所以在上单调递增，

所以，即，即；

令，则，，

由于，在x0时，，

所以，即函数在[0，+∞)上单调递减，所以，即，即bc；

综上，，

故选：B.

[方法二]：

令

，即函数在（1，+∞)上单调递减

令

，即函数在（1，3)上单调递增

综上，，

故选：B.

【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.

1．（2024·吉林长春·模拟预测）已知，则（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】构造函数，判断函数单调性，代入数值可比较大小.

【详解】设，，

时，，为减函数，

时，，为增函数，所以，

，即.

设，，

时，，为增函数，

时，，为减函数，

所以，，即，所以.

设，，

为增函数，所以，所以，即.

故选：D

2．（2024·全国·模拟预测）已知，，，则（?????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】构造函数及函数，结合函数的单调性可比较与，构造函数，结合函数的单调性可比较与，即可得解.

【详解】令，，

则在上恒成立，故在上单调递减，

故，故，

即，即，、

令，则，故在定义域内单调递增，

故，即；

令，，

则

在上恒成立，

故在上单调递增，

又，故，

故，即，

故有.

故选：D.

【点睛】关键点睛：本题关键在于构造对应的函数帮助比较大小，对与，可通过构造，从而比较与的大小关系，构造，从而比较与的大小关系，可得与的大小关系，通过构造可比较与的大小关系.

3．（2024·山西·二模）设，，则下列关系正确的是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意可得、，构造函数、，利用导数讨论两个函数的单调性可得、，即可求解.

【详解】，

，

设函数，

则，