【备战25年高考数学】解答题01 7类解三角形答题模板（解析版）.docx

解答题017类解三角形答题模板

（正余弦求边角、周长边长三角函数值面积最值、内切圆外接圆、

中线角平分线高线、证明综合）

模板0

模板01运用正余弦定理的求三角形中的边与角的答题模板

模板02求周长的值或范围、求“边长类”范围的答题模板

模板03求“三角函数值类”范围的答题模板

模板04求面积的值或范围的答题模板

模板05求内切圆及外接圆的答题模板

模板06求中线、角平分线、高线的答题模板

模板07三角形中问题证明的答题模板

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模板01运用正余弦定理的求三角形中的边与角的答题模板

运用正余弦定理求三角形中的边与角是高考中的常考题型，在解答题中一方面考查学生的解题能力，另一方面考查学生的规范作答能力，所以解答题需具备更高的考试素养.

利用正弦定理、余弦定理、面积公式、完全平方等公式进行计算即可，公式如下，作答模板详见解析

正弦定理

（其中为外接圆的半径）

余弦定理

边的余弦定理

，，

角的余弦定理

，，

三角形的面积公式

，

（2024·新高考Ⅰ卷·高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，

(1)求B；

(2)若的面积为，求c．

思路点拨：

（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可；

（2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.

思路详解：（1）由余弦定理有，对比已知，

可得，

因为，所以，

从而，

又因为，即，

注意到，

所以.

（2）由（1）可得，，，从而，，

而，

由正弦定理有，

从而，

由三角形面积公式可知，的面积可表示为

，

由已知的面积为，可得，

所以.

1．（2023·新高考Ⅱ卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．

(1)若，求；

(2)若，求．

思路详解：（1）方法1：在中，因为为中点，，，

??

则，解得，

在中，，由余弦定理得，

即，解得，则，

，

所以.

方法2：在中，因为为中点，，，

则，解得，

在中，由余弦定理得，

即，解得，有，则，

，过作于，于是，，

所以.

（2）方法1：在与中，由余弦定理得，

整理得，而，则，

又，解得，而，于是，

所以.

方法2：在中，因为为中点，则，又，

于是，即，解得，

又，解得，而，于是，

所以.

2．（2022·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．

(1)若，求C；

(2)证明：

思路详解：（1）由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以．

（2）由可得，

，再由正弦定理可得，

，然后根据余弦定理可知，

，化简得：

，故原等式成立．

1．（2024·全国·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，．

(1)若，求角；

(2)若的面积为，求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由已知结合正弦定理可得，利用余弦定理结合已知可得，可求；

（2）利用三角形的面积公式可求，计算可求.

【详解】（1）由及正弦定理得，故，

由余弦定理得，

又，所以．

因为，所以．

（2）因为的面积为，

所以，

又，所以，

又，所以，得．

2．（2022·新高考Ⅰ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

(1)若，求B；

(2)求的最小值．

【答案】(1)；

(2)．

【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将化成，再结合，即可求出；

（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出．

【详解】（1）因为，即，

而，所以；

（2）由（1）知，，所以，

而，

所以，即有，所以

所以

．

当且仅当时取等号，所以的最小值为．

3．（2021·新高考Ⅰ卷·高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.

（1）证明：；

（2）若，求.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有，结合已知即可证结论.

（2）方法一：两次应用余弦定理，求得边与的关系，然后利用余弦定理即可求得的值.

【详解】（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理，

得，

因为，所以，即．

又因为，所以．

（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理

因为，如图，在中，，①

在中，．②

由①②得，整理得．

又因为，所以，解得或，

当时，a+b=c3

当时，．

所以．

[方法二]：等面积法和三角形相似

如图，已知，则，

即，

而，即，

故有，从而．

由，即，即，即，

故，即，

又，所以，

则．

[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合

由（1）知，再由得．

在中，由正弦定理得．

又，所以，化简得．

在中，由正弦定理知，又由，所以．

在中，由余弦定理，得．

故．

[方法四]：构造辅助线利用相似的性质

如图，作，交于点E，则．

由，得．

在中，．

在中．

因为，