【备战25年高考数学】解答题07 6类新定义答题模板（解析版）.docxVIP

解答题076类新定义答题模板

（函数与导数新定义、数列新定义、集合新定义、概率统计新定义、

立体几何新定义、解析几何新定义）

模板

模板01函数与导数新定义的答题模板

模板02数列新定义的答题模板

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模板01函数与导数新定义的答题模板

函数与导数的新定义主要涉及两种类型的定义：概念新定义型和性质新定义型。

1.概念新定义型：

这类定义主要是以函数新概念为背景，通常考查考生对函数新概念的理解，涉及函数的三要素（定义域、值域、对应关系）。这类题目要求考生能够理解和应用函数的基本概念。

2.性质新定义型：

这类定义主要是以函数新性质为背景，重点考查考生灵活应用函数性质的能力，涉及函数的各种相关性质的拓展延伸，要求考生能够将这些新定义与已知的函数性质结合起来解决问题。

总结来说，函数与导数的新定义题型主要考查考生对新概念的接受和应用能力，以及对现有性质的拓展和创新能力。在解题过程中，考生需要灵活运用所学知识，将新定义与旧概念结合起来，解决具体问题。

1.理解新定义（能理解题目中给出的新定义，通常涉及到函数的新特性或导数的新计算方法）

2.应用基本导数性质（根据已知的导数性质和方法，如导数的定义、四则运算来求解函数的导数）

3.解决特定问题（对于一些复杂的导数问题，可能需要利用到函数的单调性、极值、最值等性质，或者结合特定的数学工具和方法，如泰勒公式、洛必达法则等）

（2024·河南·三模）设函数的导函数为的导函数为的导函数为.若，且，则为曲线的拐点.

(1)判断曲线是否有拐点，并说明理由；

(2)已知函数，若为曲线的一个拐点，求的单调区间与极值.

思路详解：（1）解：由函数，可得，

由，得，又由，得，所以曲线没有拐点.

（2）解：由函数，

可得，

因为为曲线的一个拐点，所以，

所以，解得，经检验，当时，，

所以.

当或时，，则的单调递增区间为；

当时，，且不恒成立，则的单调递减区间为，

故当时，取得极大值，且极大值为；

当时，取得极小值，且极小值为.

1．（2024·全国·模拟预测）若函数在上满足且不恒为0，则称函数为区间上的绝对增函数，称为函数的特征函数，称任意的实数为绝对增点（为函数的导函数）．

(1)若1为函数的绝对增点，求的取值范围；

(2)绝对增函数的特征函数的唯一零点为．

（ⅰ）证明：是的极值点；

（ⅱ）证明：不是绝对增函数．

思路详解：（1）因为函数，所以，

则．

由得，解得或，

所以为区间及区间上的绝对增函数．

又1为函数的绝对增点，所以或，解得或，

所以的取值范围为．

（2）（ⅰ）设为区间上的绝对增函数，由题意知，当时，．

①若，存在，且在区间上单调递增，则在区间上，，则，与矛盾．

若，存在，且在区间上单调递减，则在区间上，，则，与矛盾．

若，存在，且在区间上不单调，则存在，且，此时与有唯一零点矛盾．所以．

②若，不妨设，则，且存在，使得当时，，且当时，，即，使在上单调递减，在上单调递增．

所以为的极值点．同理，当时也成立．

（ⅱ）若为绝对增函数，则在上恒成立，

又恒成立，所以恒成立．

令，所以，且，

所以在上单调递增．又，所以当时，，则，与矛盾，所以假设不成立，所以不是绝对增函数．

【点睛】关键点点睛：若为绝对增函数，则在上恒成立，可构造函数，得出矛盾，即可证明.

2．（2024·福建·三模）设f′x为函数的导函数，若f′x在区间上单调递增，则称为区间上的凹函数，区间称作函数的凹区间；反之，则称为区间上的凸函数，区间称作函数的凸区间.

(1)已知函数，求的凹、凸区间；

(2)如图所示为某个凹函数的图象，在图象上任取两个不同的点，，过线段的中点作轴的垂线，与函数图象和轴分别交于，两点，则有.

①将不等关系转化为对应的不等式；

②证明：当，时，恒成立.

思路详解：（1）因为的定义域为0,+∞，，

设，则，

当x∈0,1时，，当x∈1,+∞时，

故在x∈0,1上单调递减，在x∈1,+

所以的凹区间为1,+∞，凸区间为0,1；

（2）①对于凹函数定义域中的任意两个自变量，

，，

，，

所以，，

由，有，

②对不等式两边取对数，问题等价于，

恒成立，

构造函数，，

即恒成立，

，令，

，

令，即，解得，

所以是函数?x的凹区间，

，所以当时，?x是凹函数，

由①知，，当时，等号成立，

所以时，恒成立，

即恒成立.

3．（2024·福建厦门·三模）帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法，在计算机数学中有着广泛的应用.已知函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，…，.其中，，…，.已知在处的阶帕德近似为.

(1)求实数