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高中数学之数形结合

课题

数形结合

课型

新授课

教学目标

1、理解和掌握数形结合思想，并能灵活运用，训练和强化学生见题相图的意识，培养学生识图、作图、用图和数与形联想、转化能力；

2、通过数形结合思想的运用，进一步熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征。

教学重点难点

熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征，灵活运用数形结合思想。

教法与学法

讲练结合，探析归纳，强化运用

教学过程

备注

1，新课标考纲要求

数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征

2，重难点归纳

应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化〔1〕集合的运算及韦恩图

〔2〕函数及其图象

〔3〕数列通项及求和公式的函数特征及函数图象

〔4〕方程〔多指二元方程〕及方程的曲线

以形助数常用的有借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法

以数助形常用的有借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合

3，考点整合

考点一：以数助形与以形助数：

考点二：代数问题几何化与几何问题代数化：

考点三：数形结合解决广泛的数学问题：数形结合的思想解决的相关问题：数形结合的思想应用广泛，高考试题对数形结合的考查主要涉及：1、考查集合及其运算问题〔韦恩图与数轴〕。2、考查用函数图像解决有关问题〔如方程、不等式、函数的有关性质等〕。3、考查运用向量解决有关问题。4、考查三角函数的图像及其应用。5、解析几何、立体几何中的数形结合

4，典例详解

看附页

5，小结反思

数形结合是解决许多数学问题的重要方法，它可以将抽象数学问题具体化、准确化、形象化。我们用好数形结合可以使我们更深入准确的理解数学问题。

数学结合主要应用于：函数、三角、集合、立几、解几、向量、不等式等。

3、是否选择应用数形结合的原那么是：是否有利于解决问题，用最简单的方法解决问题为最终目的。

6，教学反思

7，课后作业

看附页

需独立完成

附页1

例题详解〔一〕

题型一、集合问题

例1．〔北京2008文史类第1题〕集合A=,那么集合____________________.

解析：利用数轴表示，可得

评注：此题考查集合的根本运算，属容易题。

题型二、函数问题

例2．〔海南〔宁夏〕2008文史第10题〕点P〔x,y〕在直线上，且x,y满足，那么P到坐标原点距离的取值范围是__________________.

解析：如图，直线分别与直线的交点为易知，故的取值范围为

评注：考查两点间的距离公式及分析、解决问题的能力。注意虽然，但的取值范围不是。

题型三、三角问题

例3〔重庆2008理科第10题〕函数的值域是_______________.

解析：原式可化为=

由数形结合思想得可理解为动点与定点连线斜率的取值范围，可求取值范围是，由此可求得的值域为，当时，，所以值域是。

评注：此题主要考查利用数形结合研究函数的最值，题目较繁琐，应加强运算能力的培养。

题型四、不等式问题

例4〔山东2008理科第12题〕设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数的图象过区域M的的取值范围是_______________________.

解析：作二元一次不等式组的可行域如下图，由题意得

当过时，取最大值，此时；当过时，取最小值，此时。

评注：此题考查了线性规划与指数函数，解决此题的关键是正确作图。

题型五、方程问题

例5〔全国2008理科第11题〕等腰三角形两腰所在直线的方程分别为和，原点在等腰三角形的底边上，那么底边所在直线的斜率为_______________.

解析：如图，由题意知是等腰三角形两腰所在的直线方程，因其底边过原点，那么设底边所在直线的斜率为。

由到BC边的角等于BC到的角得

评注：本小题考查了直线到直线的角的公式的应用。

题型六、数列问题

例6〔四川2008理科第16题〕设等差数列的前项和为，假设，那么的最大值为___________.

解析：设等差数列的首项为，公差为，

那么即

即

又

因此的最大值可转化为在线性约束条件限制之下的线性目标函数的最值问题，作出可行域如下列图，可知当经过点时有最大值4。

评注：此题以等差数列为载体，考查线性规划问题。求解此题转化为