2025年天一专升本高等数学核心知识点精讲.doc

第一讲函数、极限、持续

1、基本初等函数的定义域、值域、图像，尤其是图像包括了函数的所有信息。

2、函数的性质，奇偶性、有界性

奇函数：，图像有关原点对称。

偶函数：，图像有关y轴对称

3、无穷小量、无穷大量、阶的比较

设是自变量同一变化过程中的两个无穷小量，则

（1）若，则是比高阶的无穷小量。

（2）若（不為0），则与是同阶无穷小量

尤其地，若，则与是等价无穷小量

（3）若，则与是低阶无穷小量

记忆措施：看谁趋向于0的速度快，谁就趋向于0的本领高。

4、两个重要极限

（1）

使用措施：拼凑，一定保证拼凑sin背面和分母保持一致

（2）

使用措施1背面一定是一种无穷小量并且和指数互為倒数，不满足条件得拼凑。

5、

的最高次幂是n,的最高次幂是m.,只比较最高次幂，谁的次幂高，谁的头大，趋向于无穷大的速度快。,以相似的比例趋向于无穷大；，分母以更快的速度趋向于无穷大；，分子以更快的速度趋向于无穷大。

7、左右极限

左极限：

右极限：

注：此条件重要应用在分段函数分段点处的极限求解。

8、持续、间断

持续的定义：

或

间断：使得持续定义无法成立的三种状况

记忆措施：1、右边不存在2、左边不存在3、左右都存在，但不相等

9、间断点类型

（1）、第二类间断点：、至少有一种不存在

（2）、第一类间断点：、都存在

注：在应用時，先判断是不是“第二类间断点”，左右只要有一种不存在，就是“第二类”然后再判断是不是第一类间断点；左右相等是“可去”，左右不等是“跳跃”

10、闭区间上持续函数的性质

最值定理：假如在上持续，则在上必有最大值最小值。

零点定理：假如在上持续，且，则在内至少存在一点，使得

第三讲中值定理及导数的应用

罗尔定理

假如函数满足：（1）在闭区间上持续；（2）在开区间（a,b）内可导；（3），则在(a,b)内至少存在一点，使得

b记忆措施：脑海里记着一幅图：

b

拉格朗曰定理

假如满足（1）在闭区间上持续

（2）在开区间（a,b）内可导；

则在(a,b)内至少存在一点，使得

脑海里记着一幅图：

（*）推论1：假如函数在闭区间上持续，在开区间（a,b）内可导，且，那么在内=C恒為常数。

记忆措施：只有常量函数在每一点的切线斜率都為0。

（*）推论2：假如在上持续，在开区间内可导，且，那么

记忆措施：两条曲线在每一点切线斜率都相等

驻点

满足的点，称為函数的驻点。

几何意义：切线斜率為0的点，过此点切线為水平线

4、极值的概念

设在点的某邻域内有定义，假如对于该邻域内的任一点x,有，则称為函数的极大值，称為极大值点。

设在点的某邻域内有定义，假如对于该邻域内的任一点x,有，则称為函数的极小值，称為极小值点。

记忆措施：在图像上，波峰的顶点為极大值，波谷的谷底為极小值。

拐点的概念

持续曲线上，凸的曲线弧与凹的曲线弧的分界点，称為曲线的拐点。

注在原点既

是拐点

单调性的鉴定定理

设在内可导，假如，则在内单调增長；

假如，则在内单调减少。

记忆措施：在图像上但凡和右手向上趋势吻合的，是单调增長，；

在图像上但凡和左手向上趋势吻合的，是单调减少，；

获得极值的必要条件

可导函数在点处获得极值的必要条件是

获得极值的充足条件

第一充足条件：

设在点的某空心邻域内可导，且在处持续，则

假如時，;,那么在处获得极大值；

假如時，；，那么在处获得极小值；

假如在点的两侧，同号，那么在处没有获得极值；

记忆措施：在脑海里只需记三副图，波峰的顶点為极大值，波谷的谷底為极小值。

第二充足条件：

设函数在点的某邻域内具有一阶、二阶导数，且，

则（1）假如，那么在处获得极大值；

（2）假如，那么在处获得极小值

凹凸性的鉴定

设函数在内具有二阶导数，（1）假如，那么曲线在内凹的；（2）假如，那么在内凸的。

图像体現：

凹的体現凸的体現

渐近线的概念

曲线在伸向无穷远处時，可以逐渐迫近的直线，称為曲线的渐近线。

水平渐近线：若,则有水平渐近线

(2)垂直渐近线：若存在点，，则有垂直渐近线

求斜渐近线