2025年高考数学复习(新高考专用)重难点05利用导数证明不等式【十大题型】特训(学生版+解析).docxVIP

重难点05利用导数证明不等式【十大题型】

【新高考专用】

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【题型1直接法证明不等式】 2

【题型2移项构造函数证明不等式】 3

【题型3分拆函数法证明不等式】 4

【题型4分析法证明不等式】 5

【题型5放缩法证明不等式】 6

【题型6指对同构】 8

【题型7隐零点法】 9

【题型8双变量不等式的证明】 10

【题型9函数与数列不等式综合证明问题】 11

【题型10导数新定义的不等式证明问题】 12

1、利用导数证明不等式

导数中的不等式证明是高考的常考题型，是高考的热点问题，常与函数的性质、函数的零点与极值、数列等相结合，虽然题目难度较大，但是解题方法多种多样，如构造函数法、放缩法等，针对不同的题目，灵活采用不同的解题方法，可以达到事半功倍的效果.

【知识点1导数中的不等式证明的解题策略】

1．导数中的不等式证明的解题策略

(1)一般地，要证f(x)g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式．若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递减即可.

(2)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题．

2．移项构造函数证明不等式

待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”或“右减左”的函数，利用导教研究其单调性等相关函数性质证明不等式.

3．分拆函数法证明不等式

(1)若直接求导后导数式比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标.在证明过程中，等价转化是关键，此处g(x)min≥f(x)max恒成立，从而f(x)≤g(x)恒成立.

(2)等价变形的目的是求导后简单地找到极值点，一般地，与lnx要分离，常构造与lnx，与的积、商形式.便于求导后找到极值点.

4．放缩后构造函数证明不等式

某些不等式，直接构造函数不易求其最值，可以适当地利用熟知的函数不等式等进行放缩，有利于简化后续导数式的求解或函数值正负的判断；也可以利用局部函数的有界性进行放缩，然后再构造函数进行证明.

【知识点2指对同构】

1．指对同构证明不等式

在解决指对混合不等式时，如恒成立求参数取值范围或证明不等式，有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型(即不等式两边对应的同一函数)，无疑大大加快解决问题的速度.找到这个函数模型的方法，我们称为同构法.

(1)五个常见变形：

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【题型1直接法证明不等式】

【例1】（2024·江苏连云港·模拟预测）已知函数f(x)=ex?12x2?x.

(1)求函数f(x)在x=1处的切线方程.

(2)证明：?x∈[0,+∞

【变式1-1】（2024·河北保定·三模）已知函数f(x)=x2?ax+lnx

(1)求a；

(2)证明：f(x)≤2x

【变式1-2】（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）已知函数fx=x

(1)求fx的最小值g

(2)证明：ga

【变式1-3】（2024·江苏徐州·模拟预测）已知函数fx=2x

(1)当m=0时，求曲线y=fx在点(1,f(1))

(2)当m≤1时，证明：fx

【题型2移项构造函数证明不等式】

【例2】（2024·广西·模拟预测）设函数fx=lnx+ax+b，曲线y=fx

(1)求a,b的值；

(2)证明：fx

【变式2-1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数fx=x

(1)求fx

(2)证明：xgx

【变式2-2】（2024·陕西榆林·三模）已知函数fx=mln

(1)讨论fx

(2)当m=1时，证明：f′

【变式2-3】（2024·上海松江·二模）已知函数y=x?lnx+a（a为常数），记

(1)若函数y=g(x)在x=1处的切线过原点，求实数a的值；

(2)对于正实数t，求证：f(x)+f(t?x)≥f(t)?tln

(3)当a=1时，求证：g(x)+cos

【题型3分拆函数法证明不等式】

【例3】（23-24高三上·广东·阶段练习）已知函数fx

(1)讨论fx

(2)当a≥4e2

【变式3-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数fx

(1)若函数Fx=fx

(2)若曲线y=fx在点1e,f1e

【变式3-2】（2024·广西柳州·三模）已知函数fx

(1)求函数fx在点1,f

(2)求函数fx

(3)若f′x为fx的导函数，设gx=

【变式3-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数fx

(1)若曲线y=fx在0,a?32处的切线方程为4ax