2025年高考数学复习(新高考专用)重难点07双变量问题【九大题型】特训(学生版+解析).docxVIP

重难点07双变量问题【九大题型】

【新高考专用】

TOC\o1-3\h\u

【题型1双变量单调性问题】 2

【题型2双变量的最值（取值范围）问题】 3

【题型3双变量问题转化为单变量问题】 4

【题型4与极值点有关的双变量问题】 5

【题型5与零点有关的双变量问题】 6

【题型6双变量的恒成立问题】 7

【题型7双变量的不等式证明问题】 8

【题型8与切线有关的双变量问题】 10

【题型9双变量的新定义问题】 11

1、双变量问题

导数是高中数学的重要考查内容，是高考常考的热点内容，而导数中的双变量问题在高考中占有很重要的地位，主要涉及双变量的恒成立问题、双参数不等式问题以及双变量的不等式证明等问题，一般作为解答题的压轴题出现，难度较大，需要灵活求解.

【知识点1导数中的双变量问题】

1．导数中的双变量问题

导数中的双变量问题往往以双参数不等式的形式呈现，要想解决双变量问题，就需要掌握破解双参数不等式的方法：

一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；

二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；

三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果．

【知识点2导数中的双变量问题的解题策略】

1．转化为同源函数解决双变量问题

此类问题一般是给出含有x1，x2，f(x1)，f(x2)的不等式，若能通过变形，把不等式两边转化为结构形式相同的代数式，即转化为同源函数，可利用该函数单调性求解.

2．整体代换解决双变量问题

(1)解此类题的关键是利用代入消元法消去参数a，得到仅含有x1，x2的式子.

(2)与极值点x1，x2有关的双变量问题：一般是根据x1，x2是方程f(x)=0的两个根，确定x1，x2的关系,再通过消元转化为只含有x1或x2的关系式，再构造函数解题，即把所给条件转化为x1，x2的齐次式，然后转化为关于的函数，把看作一个变量进行整体代换，从而把二元函数转化为一元函数来解决问题.

3．构造函数解决双变量问题的答题模板

第一步：分析题意，探究两变量的关系；

第二步：合二为一，变为单变量不等式；

第三步：构造函数；

第四步：判断新函数的单调性或求新函数的最值，进而解决问题；

第五步：反思回顾解题过程，规范解题步骤.

【题型1双变量单调性问题】

【例1】（23-24高二下·江苏常州·期中）已知函数fx=xlnx?12ax2，a∈R

(1)若gx=f(x)x，求函数

(2)若对于任意的x1，x2∈(0,+∞)

【变式1-1】（23-24高二下·上海·期末）已知fx

(1)求曲线y=fx在x=1

(2)若对任意的x1,x2∈0,+∞

【变式1-2】（23-24高二下·上海·期末）已知函数f

(1)当a=1时，求函数fx

(2)若fx1?fx2

【变式1-3】（2024·山西吕梁·三模）已知函数fx

(1)讨论函数的单调性；

(2)若对任意的x1,x2∈

【题型2双变量的最值（取值范围）问题】

【例2】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知函数fx

（1）若fx≥0，求实数

（2）若gx=fx+x2+

【变式2-1】（2023·湖北武汉·一模）已知关于x的方程ax?lnx=0有两个不相等的正实根x1和x

(1)求实数a的取值范围；

(2)设k为常数，当a变化时，若x1kx2有最小值

【变式2-2】（2024·四川成都·模拟预测）已知函数f(x)=sin

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若x1x

（ⅰ）求m的取值范围；

（ⅱ）证明：x1

【变式2-3】（2024·四川泸州·一模）已知函数fx=ax+1?xlnx的图像在

(1)求函数fx

(2)若?x1,x2∈0,+

【题型3双变量问题转化为单变量问题】

【例3】（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=ax?ln

(1)若fx存在零点，求a

(2)若x1，x2为fx的零点，且x

【变式3-1】（2024·广东佛山·二模）已知fx

(1)当a=3时，求fx

(2)若fx有两个极值点x1，x2

【变式3-2】（2024·四川·模拟预测）已知函数fx

(1)当a=1时，求曲线y=fx在点0,f

(2)设x1,x2x

【变式3-3】（2024·安徽阜阳·一模）已知函数fx

(1)讨论fx

(2)已知x1,x2是函数

（ⅰ）求实数a的取值范围．

（ⅱ）λ∈0,12,f

【题型4与极值点有关的双变量问题】

【例4】（2024·四川南充·二模）已知函数fx=aex?

(1)求实数a的取值范围；

(2)若x3≥2x

【变式4-1】（2023·全国·模拟预测）已知函数fx

(1)当t=0