2025年高考数学复习(新高考专用)重难点24隐圆与蒙日圆问题【六大题型】特训(学生版+解析).docxVIP

重难点24隐圆与蒙日圆问题【六大题型】

【新高考专用】

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【题型1隐圆类型一：到定点的距离等于定长】 2

【题型2隐圆类型二：到两定点距离的平方和为定值】 2

【题型3隐圆类型三：到两定点的夹角为直角】 3

【题型4隐圆类型四：定弦定角、数量积定值】 3

【题型5阿波罗尼斯圆】 4

【题型6蒙日圆】 5

1、隐圆与蒙日圆问题

从近几年的高考情况来看，在近几年全国各地的解析几何试题中可以发现许多试题涉及隐圆、蒙日圆，这些问题聚焦了轨迹方程、定值、定点、弦长、面积等解析几何的核心问题，难度为中高档，需要灵活求解.

【知识点1隐圆与阿波罗尼斯圆】

1．隐圆问题

在题设中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题目中，要通过分析、转化、发现圆(或圆的方程)，从而最终利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐圆问题”.

2．隐圆问题的几大类型

(1)隐圆类型一：到定点的距离等于定长；

(2)隐圆类型二：到两定点距离的平方和为定值；

(3)隐圆类型三：到两定点的夹角为直角；

(4)隐圆类型四：对角互补、数量积定值；

(5)隐圆类型五：阿波罗尼斯圆.

3．阿波罗尼斯圆

“阿波罗尼斯圆”的定义：平面内到两个定点A(-a,0)，B(a,0)(a0)的距离之比为正数λ(λ≠1)的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，即为阿波罗尼斯圆.

【知识点2蒙日圆】

1．蒙日圆

在椭圆上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆长半轴与短半轴平方和的算术平方根，这个圆叫蒙日圆.

设P为蒙日圆上任一点，过点P作椭圆的两条切线，交椭圆于点A，B，O为原点，如图.

【题型1隐圆类型一：到定点的距离等于定长】

【例1】（2024·全国·二模）已知直线l1:y=tx+5t∈R与直线l2:x+ty?t+4=0t∈R相交于点P，且点P到点Qa,3的距离等于1，则实数a的取值范围是（????）

A．?2

B．?2

C．?2

D．?2

【变式1-1】（24-25高三上·江西南昌·开学考试）已知椭圆E:x24+y23=1的右焦点为F，则

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【变式1-2】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知a，b是两个单位向量，且a+b=a?b，若向量c满足

A．2?2 B．2+2 C．2

【变式1-3】（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知M(x1,y1)，N(x2,

A．10,14 B．8,16 C．52,72

【题型2隐圆类型二：到两定点距离的平方和为定值】

【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）平面上一动点P满足：PM|2+PN|2=6

A．(x+1)2+y

C．x2+y

【变式2-1】（2024·河南·三模）在平面α内，已知线段AB的长为4，点P为平面α内一点，且PA2+PB2=10

A．π6 B．π4 C．π3

【变式2-2】（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知点A2,0，若点M满足MA2+MO

【变式2-3】（23-24高二上·福建厦门·期末）已知圆O:x2+y2=1和圆O1:(x?2)2+y2=1，过动点P分别作圆O，圆O1的切线PA

【题型3隐圆类型三：到两定点的夹角为直角】

【例3】（2024·浙江嘉兴·二模）已知圆C:(x?5)2+(y+2)2=r2(r0),A?6,0,B

A．0,5 B．5,15 C．10,15 D．15,+

【变式3-1】（2024·北京平谷·模拟预测）设点A1,0，动直线l：x+ay+2a?1=0，作AM⊥l于点M，则点M到坐标原点O距离的最小值为（???

A．1 B．2+1 C．2?1

【变式3-2】（23-24高三下·江苏扬州·开学考试）在平面直角坐标系xOy中，已知M,N为圆x2+y2=9上两点，点A1,2，且

A．4?2,4+2

C．4?5,4+5

【变式3-3】（2024·广西南宁·二模）已知直线y=kx+mkm≠0与x轴和y轴分别交于A，B两点，且AB=22，动点C满足CA⊥CB，则当k，m变化时，点C到点D

A．42 B．32 C．22

【题型4隐圆类型四：定弦定角、数量积定值】

【例4】（2024·北京·三模）已知圆C:x?32+y?12=1和两点A?t,0,Bt,0t0

A．0,1 B．1,3 C．2,3 D．3,4

【变式4-1】（2024·全国·模拟预测）M点是圆C:(x+2)2+y2=1上任意一点，AB为圆C1:(x?2)2+

A．1 B．2 C．3 D．47

【变式4-2】（2024·江西赣州·一模）在边长为4的正方体ABCD?A1B1C1D1中，点E是BC的中点，点P是侧面

A．π9 B．2π