2025年高考数学复习(新高考专用)重难点30圆锥曲线中的存在性问题【六大题型】特训(学生版+解析).docxVIP

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2025-03-01 发布于贵州
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2025年高考数学复习(新高考专用)重难点30圆锥曲线中的存在性问题【六大题型】特训(学生版+解析).docx

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重难点30圆锥曲线中的存在性问题【六大题型】

【新高考专用】

TOC\o1-3\h\u

【题型1与向量有关的存在性问题】 1

【题型2与斜率有关的存在性问题】 3

【题型3与面积有关的存在性问题】 4

【题型4存在定点满足某条件问题】 6

【题型5存在常数满足某条件问题】 7

【题型6存在点满足定值问题】 9

1、圆锥曲线中的存在性问题

圆锥曲线是高考的重点、热点内容，从近几年的高考情况来看，圆锥曲线中的存在性问题考查频率变高，此类问题一般分为探究条件、探究结论两种类型，主要在在解答题中考查，难度较高；复习时要加强此类问题的训练，灵活求解.

【知识点1圆锥曲线中的存在性问题及其解题策略】

1．圆锥曲线中的存在性问题

此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，

成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论.

2．圆锥曲线中的存在性问题的求解策略：

(1)若给出问题的一些特殊关系，要探索一般规律，并证明所得规律的正确性，通常要对已知关系进行观察、比较、分析，然后概括一般规律；

(2)若只给出条件，求“不存在”“是否存在”等语句表述问题时，一般先对结论给出肯定存在的假设，然后由假设出发，结合已知条件进行推理，若在假设存在的前提下可以求出与已知、定理或公理相同的结论，则说明假设成立；否则说明假设不成立.

【题型1与向量有关的存在性问题】

【例1】（2024·福建厦门·二模）已知A?2,0，B2,0，P为平面上的一个动点.设直线AP,BP的斜率分别为k1，k2，且满足k1?k2=?34.记P的轨迹为曲线Γ.

(1)求Γ的轨迹方程；

(2)直线PA，PB分别交动直线x=t于点C,D，过点C作PB的垂线交x轴于点H.HC?

【变式1-1】（2024·河南驻马店·二模）已知双曲线C:x2a2?y2b2=1(a0,b0)的左顶点为A，直线l1

(1)求C的方程；

(2)已知直线l2:y=2x+mm≠8与C交于P,Q两点，问：是否存在满足EA?EP

【变式1-2】（2024·湖南邵阳·二模）已知双曲线Γ:x2a2?y2b2=1(a0,b0)

(1)若l经过点?2,0，且∠AOB=90°，求

(2)若l经过点F1，且A,B两点在双曲线Γ的左支上，则在x轴上是否存在定点Q，使得QA?QB

【变式1-3】（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）动点M(x,y)到直线l1:y=3x与直线l2:y=?3x的距离之积等于

(1)求Γ的方程；

(2)过Γ上的点P作圆Q:x2+(y?4)2=1的切线

(3)已知点G0,43，直线l:y=kx+2(k0)交Γ于点A，B，Γ上是否存在点C满足GA

【题型2与斜率有关的存在性问题】

【例2】（23-24高三下·广东深圳·期中）已知抛物线C:y2=2px(0p3)的焦点为F

(1)求抛物线C的方程；

(2)过点?12,0的动直线l与C交于A,B两点，C上是否存在定点M使得kMA+kMB

【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）已知O为坐标原点，椭圆C：x2a2+y2b2=1ab0的焦距为26，离心率e=32，过点P0,2作两条直线l1，l2，直线l1交椭圆于A，B两点，直线l2交椭圆于

(1)求椭圆C的标准方程．

(2)记直线AM与BN的斜率分别为k1，k2且k1k2≠0，判断是否存在非零常数

【变式2-2】（2024·四川成都·模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1ab0的离心率为32，过点P0,a

(1)求椭圆C的方程；

(2)当l斜率存在时，线段OP上是否存在定点Q，使得直线QA与直线QB的斜率之和为定值．若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【变式2-3】（2024·新疆喀什·三模）已知双曲线E：x2?3y2=3的左、右焦点分别为F1，F2，A是直线l：y=?ca2x（其中a是实半轴长，c是半焦距）上不同于原点O的一个动点，斜率为k1的直线AF1与双曲线E交于

(1)求1k

(2)若直线OM，ON，OP，OQ的斜率分别为kOM，kON，kOP，kOQ，问是否存在点A，满足

【题型3与面积有关的存在性问题】

【例3】（2024·江西·模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中．阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，阿波罗尼斯圆指的是已知动点M与两定点Q，P的距离之比MQMP=λ、(λ0且λ≠1),λ是一个常数，那么动点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ上．已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为x2+y

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)已知点A2,1