2025年高考数学复习核心考点(新高考专用)专题6.4数列的通项公式的求法【十二大题型】特训(学生版+解析).docxVIP

专题6.4数列的通项公式的求法【十二大题型】

【新高考专用】

TOC\o1-3\h\u

【题型1观察法】 3

【题型2定义法】 4

【题型3由an与Sn的关系求通项】 5

【题型4累加法】 5

【题型5累乘法】 6

【题型6构造法】 7

【题型7由等差数列的通项公式求数列通项】 8

【题型8由等比数列的通项公式求数列通项】 9

【题型9周期数列的通项问题】 10

【题型10正负、奇偶讨论型求通项】 11

【题型11双数列的通项问题】 12

【题型12特殊数列求通项】 13

1、数列的通项公式的求法

考点要求

真题统计

考情分析

(1)了解数列的通项公式和递推关系

(2)掌握求数列的通项公式的常用方法

2022年新高考全国I卷：第17题，10分

2023年新高考I卷：第20题，12分

2023年新高考Ⅱ卷：第18题，12分

2023年全国甲卷（理数）：第17题，12分

2024年全国甲卷（文数）：第17题，12分

2024年全国甲卷（理数）：第18题，12分

数列是高考的重点、热点内容.从近几年的高考情况来看，数列的通项公式的求解是高考考查的热点，主要以解答题的形式考查，一般出现在第一小问中，难度不大；有时也会出现在选择题、填空题中，与函数、不等式等综合考查；数列的通项公式的求法多种多样，需要灵活求解.

【知识点1数列的通项公式】

1．数列的通项公式

如果数列{}的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这

个数列的通项公式.

2．数列的递推公式

(1)递推公式的概念

如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.

(2)对数列递推公式的理解

①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式.

②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式.

如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项.

③用递推公式求出一个数列，必须给出：

基础——数列{}的第1项(或前几项)；

递推关系——数列{}的任意一项与它的前一项()(或前几项)间的关系，并且这个关系可

以用等式来表示.

【知识点2数列的通项公式的常见求法】

1．观察法：

已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项.

2．定义法：

已知数列的通项公式的类型，对于含参的通项公式，根据数列的定义结合已知条件，求出通项公式中的参数，从而得到此数列的通项.

3．公式法：

由an与Sn的关系求通项：

(1)已知Sn求an的常用方法是利用=转化为关于an的关系式，再求通项公式.

(2)Sn与an关系问题的求解思路

方向1：利用an=Sn-Sn-1(n≥2)转化为只含Sn，Sn-1的关系式，再求解.

方向2：利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为只含an，an-1的关系式，再求解.

4．累加法：

形如an+1=an+f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项.

5．累乘法：

形如an+1=an·f(n)的递推关系式可化为的形式，可用累乘法，也可用代入求出通项.

6．构造法：

①形如an+1=pan+q的递推关系式可以化为(an+1+x)=p(an+x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键.

②形如an+1=pan+qn+c的数列，引入参数x，y，构造新的等比数列{}.

③形如an+1=pan+qn的数列，两边同除以qn+1，构造新的数列{}.

④形如(A,B,C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.

7．等差数列的通项公式法：

(1)如果给定的数列是等差数列，求出首项和公差，直接利用等差数列的通项公式求解；

(2)如果给定的数列可以构造出等差数列，先求出构造的等差数列的通项公式，在通过递推关系式进行变形转化，得到所求数列的通项公式.

8．等比数列的通项公式法：

(1)如果给定的数列是等比数列，求出首项和公比，直接利用等比数列的通项公式求解；

(2)如果给定的数列可以构造出等比数列，先求出构造的等比数列的通项公式，在通过递推关系式进行变形转化，得到所求数列的通项公式.

【题型1观察法】

【例1】（24-25高二上·全国·课后作业）数列1,?22,12,?24,14,?的一个通项公式为（????

A．?12n?1 B．?22n

【变式1-1】（2024·吉林·三模）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列