电路理论基础（第三版） 课件 第3章 线性电阻电路的一般分析法.pptx

第三章线性电阻电路的一般分析法;3.1KCL、KVL方程的独立性;3.1KCL、KVL方程的独立性;从图中的某一个节点出发,沿着一系列支路连续移动,到达另一节点,这一系列支

路称为这两个节点间的一条路径。单条支路也是一条路径。若一条路径的起始节

点和终止节点为同一个节点,则称为闭合路径,又称为回路。若图中任两节点之间

都有路径相连通,则称为连通图,否则称为非连通图。若图中所有支路都标有方向

(用箭头表示),则称为有向图。图中支路的方向通常代表着对应电路中该支路电流

和电压的参考方向。树是拓扑图中的一个重要概念。连通图G的一个树T定义

为图G中满足如下三个条件的一个子图：

(1)T包含G的全部节点;

(2)T不含任一回路;

(3)T是连通的。

;一个连通图通常有许多不同的树,如图3-2(a)所示是一个连通图,图(b)、(c)均是

该连通图的树。对连通图G,当确定其一个树T后,图G中的支路就可分为两类：

一类是属于T的支路,称为树支;另一类是不属于T的支路,称为连支。对图3-2(a)

所示的连通图,若选定其树如图3-2(b)所示,则1、2、3、6为树支,4、5、7、8为连

支。但是,若选定图3-2(c)为树,则5、6、7、8为树支,1、2、3、4为连支。

图3-2连通图及其树

;同一个连通图G对应不同的树,其连支和树支会有所不同,但连支的数目及树支

的数目是不变的。若连通图G有n个节点、b条支路,则可证明其树支数为n-1,连

支数为l=b-n+1。

假设将连通图G的全部支路移去,剩下它的n个节点。为了将n个节点连成一

个树,首先用一条支路将两个节点连起来;随后每连入一个新的节点,就需增加一条

支路;将全部n个节点连完,正好需要n-1条支路。此时每两个节点间都有路径连通,

若再在某两节点间增加一条支路,则该两节点间有两条不同的路径,这两条路径会

构成一个回路,不符合树的定义。因此,具有n个节点的连通图G的任一个树都必

须,且只能由n-1条支路构成。因为一个连通图的树支和连支构成它的全部支路,

所以连支数为l=b-(n-1);若一个电路可画在一个平面上,且在非节点处不相交,则称之为平面电路,否则

称为非平面电路。图3-2(a)所示是一个平面电路的图,图3-3所示???是一个非平面

电路的图。

平面电路中含有网孔。所谓网孔,是指内部不含其他支路的回路。图3-2(a)中,

由支路1、5、7构成的回路是网孔,而由支路1、5、8、4构成的回路则不是网孔。

图3-3非平面电路的图;3.1.2KCL方程的独立性

图3-4所示是一个电路的有向图,其中各支路的箭头表示各支路电流的参考方向。

列出该电路4个节点的KCL方程为

⑴i1-i4-i6=0

⑵-i1-i2+i3=0

⑶i2+i5+i6=0

⑷-i3+i4-i5=0

图3-4列写KCL、KVL方程示意图;观察可知,这4个方程中的任意3个方程是相互独立的。例如,方程⑴、⑵、⑶就

是一组独立方程,该组的任一方程中都有一电流变量未被另两式涉及,因此任一方

程都不可能由其余两式导出。再如⑵、⑶、⑷方程组等亦是如此。但是以上全部

4个方程却不是一组独立方程,易见4个方程相加得零,即任一方程可由其余3个方

程相加导出。由此可见,对具有4个节点的电路,依据KCL可得到的独立方程数为

4-1=3,即独立的KCL方程数与树支数相等。这一结果可推广到一般情况,有以下

结论。

结论：对于有n个节点的连通网络,可得到n-1个独立的节点KCL方程。与这些

独立方程对应的节点称为独立节点,电路中任意选定的n-1个节点都是独立节点。

*证：由于任一支路都接在两个节点之间,其电流从一个节点流出,流入另一节点,

因此对所有n个节点列出KCL方程,每个支路电流会在两个方程中出现,且符号相

反。将n个节点KCL方程相加,各支路电流正负相消,所得为零。即任一节点KCL

方程都可由其余n-1个方程相加再乘-1得到。因此,n个节点KCL方程中的独立方

程数不会超过n-1个。下面证明其独立方程数正好为n-1。;设电路n个节点的编号为n0,n1,n2,…,nn-1。设想将全部支路移去,然后从节点

n0开始,依次连入n1,n2,…,nn-1各节点,构成一个树。每连入一个新的节点,需增

加一条树支。设联入节点nk时所用的树支为支路dk(k=1,2,…,n-1)。显然,dk必

接在节点nk及编号在nk之前的某个节点间,dk不会与nk之后的节点相连,因为这

些节点此时尚未接入。因此