《两角和与差的正切》导学案.doc

《两角和与差的正切》导学案

一、学习目标

1、知识与技能目标

学生能够推导两角和与差的正切公式，即\tan(A+B)=\frac{\tanA+\tanB}{1-\tanA\tanB}和\tan(A-B)=\frac{\tanA-\tanB}{1+\tanA\tanB}。

能够正确运用两角和与差的正切公式进行化简、求值和证明。

2、过程与方法目标

通过公式的推导过程，培养学生的逻辑推理能力和数学运算能力。

让学生经历观察、分析、类比、归纳等思维过程，提高学生解决数学问题的能力。

3、情感态度与价值观目标

体验数学公式的简洁美和结构美，激发学生学习数学的兴趣。

在小组合作学习中，培养学生的团队合作精神和交流能力。

二、学习重难点

1、重点

两角和与差的正切公式的推导。

两角和与差的正切公式的运用。

2、难点

两角和与差的正切公式的变形及灵活运用。

对公式中角的范围的理解和把握。

三、学习方法

1、自主探究法：让学生自己推导两角和与差的正切公式，深入理解公式的来龙去脉。

2、合作学习法：通过小组合作讨论公式的运用，解决学习过程中遇到的问题。

3、类比学习法：类比两角和与差的正弦、余弦公式，学习两角和与差的正切公式。

四、学习过程

（一）知识回顾

1、两角和与差的正弦公式：

\sin(A+B)=\sinA\cosB+\cosA\sinB。

\sin(A-B)=\sinA\cosB-\cosA\sinB。

2、两角和与差的余弦公式：

\cos(A+B)=\cosA\cosB-\sinA\sinB。

\cos(A-B)=\cosA\cosB+\sinA\sinB。

让学生回顾这四个公式的推导过程以及它们的特点，为推导两角和与差的正切公式做好铺垫。

（二）公式推导

1、提出问题：如何由两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式呢？

2、引导学生思考：因为\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}，所以对于\tan(A+B)，我们可以将其表示为\frac{\sin(A+B)}{\cos(A+B)}。

3、学生自主推导：

首先，将\sin(A+B)=\sinA\cosB+\cosA\sinB和\cos(A+B)=\cosA\cosB-\sinA\sinB代入\tan(A+B)=\frac{\sin(A+B)}{\cos(A+B)}中，得到：

\tan(A+B)=\frac{\sinA\cosB+\cosA\sinB}{\cosA\cosB-\sinA\sinB}。

然后，分子分母同时除以\cosA\cosB（这里要强调\cosA\cosB\neq0的条件），得到：

\tan(A+B)=\frac{\frac{\sinA\cosB}{\cosA\cosB}+\frac{\cosA\sinB}{\cosA\cosB}}{\frac{\cosA\cosB}{\cosA\cosB}-\frac{\sinA\sinB}{\cosA\cosB}}=\frac{\tanA+\tanB}{1-\tanA\tanB}。

同理，对于\tan(A-B)，可以推导出：

\tan(A-B)=\frac{\sin(A-B)}{\cos(A-B)}=\frac{\sinA\cosB-\cosA\sinB}{\cosA\cosB+\sinA\sinB}，分子分母同时除以\cosA\cosB（\cosA\cosB\neq0），得到\tan(A-B)=\frac{\tanA-\tanB}{1+\tanA\tanB}。

（三）公式理解

1、角的范围

对于\tan(A+B)=\frac{\tanA+\tanB}{1-\tanA\tanB}，要使公式有意义，需满足A,B,A+B\neqk\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ。

对于\tan(A-B)=\frac{\tanA-\tanB}{1+\tanA\tanB}，需满足A,B,A-B\neqk\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ。

让学生思考为什么会有这样的角的范围限制，引导学生从正切函数的定义域以及公式推导过程中的分母不能为零等方面进行分析。

2、公式结构特点

两角和与差的正切公式是分式形式，分子是两角正切值的和或差，分母是1与两角正切值乘积的差或和。

与两角和与差的正弦、余弦公式