微分几何§2曲面的第一基本形式.pptVIP

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2025-03-01 发布于上海
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微分几何§2曲面的第一基本形式.ppt

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01曲面的第一基本形式曲面上曲线的弧长02曲面上两方向的交角03正交曲线族和正交轨线04曲面域的面积05等距交换06保角变换2曲面的第一基本形式给出曲面S：上的曲线C：或对于曲线C有或者01若以s表示曲面上曲线的弧长,考虑C的弧长有022.1曲面的第一基本形式曲面上曲线的弧长则有令则有设曲线上两点，则弧长为1（*）是关于微分的一个二次形式，称2为曲面的第一基本形式，用表示：3它的系数4称为曲面的第一类基本量。5对于曲面的特殊参数表示，有1则由（2.19）有曲面的第一基本形式为2由第一类基本量定义知又根据拉格朗日恒等式可知第一基本形式的判别式因此第一基本量满足不等式第一基本形式是正定的。也可有直接得出。01注：曲面的第一基本形式是不变量（参数变换下不变）02例1求球面的第一基本形式。解：,.?例2求正螺面的第一基本形式。解：01前面提过曲面上一点的切方向称为曲面上的方向，表示为给出一方向就等于给出一对值，由于020304方向和的长度无关，所以给出就能确定曲面上的一方向。以后用或表示曲面上的一方向。05062.2曲面上两方向的交角间的交角称为方向和间的角。把向量和给出曲面上两个方向和，我们123求方向和间的角。由于所以由于123由此得的表达式由上式推出曲面上两个方向和垂直的充要条件是特别地有坐标曲线和的交角有表达式注：曲面的坐标网正交的充要条件是F=0。