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湖南省永州一中2025届高三第二次联考数学试卷
注意事项
1.考生要认真填写考场号和座位序号。
2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.若函数()的图象过点,则()
A.函数的值域是 B.点是的一个对称中心
C.函数的最小正周期是 D.直线是的一条对称轴
2.造纸术、印刷术、指南针、火药被称为中国古代四大发明,此说法最早由英国汉学家艾约瑟提出并为后来许多中国的历史学家所继承,普遍认为这四种发明对中国古代的政治,经济,文化的发展产生了巨大的推动作用.某小学三年级共有学生500名,随机抽查100名学生并提问中国古代四大发明,能说出两种发明的有45人,能说出3种及其以上发明的有32人,据此估计该校三级的500名学生中,对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有()
A.69人 B.84人 C.108人 D.115人
3.已知,若方程有唯一解,则实数的取值范围是()
A. B.
C. D.
4.已知函数,则()
A.2 B.3 C.4 D.5
5.已知三棱锥的体积为2,是边长为2的等边三角形,且三棱锥的外接球的球心恰好是中点,则球的表面积为()
A. B. C. D.
6.若2m>2n>1,则()
A. B.πm﹣n>1
C.ln(m﹣n)>0 D.
7.已知函数,将的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标保持不变;再把所得图象向上平移个单位长度,得到函数的图象,若,则的值可能为()
A. B. C. D.
8.已知集合,,若,则实数的值可以为()
A. B. C. D.
9.已知定义在上的函数满足,且在上是增函数,不等式对于恒成立,则的取值范围是
A. B. C. D.
10.已知命题:是“直线和直线互相垂直”的充要条件;命题:对任意都有零点;则下列命题为真命题的是()
A. B. C. D.
11.已知为定义在上的奇函数,若当时,(为实数),则关于的不等式的解集是()
A. B. C. D.
12.定义域为R的偶函数满足任意,有,且当时,.若函数至少有三个零点,则的取值范围是()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知函数若关于的不等式的解集是,则的值为_____.
14.数列满足递推公式,且,则___________.
15.四面体中,底面,,,则四面体的外接球的表面积为______
16.已知函数,若关于的方程恰有四个不同的解,则实数的取值范围是______.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)设等比数列的前项和为,若
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)在和之间插入个实数,使得这个数依次组成公差为的等差数列,设数列的前项和为,求证:.
18.(12分)秉持“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念,为推动新能源汽车产业迅速发展,有必要调查研究新能源汽车市场的生产与销售.下图是我国某地区年至年新能源汽车的销量(单位:万台)按季度(一年四个季度)统计制成的频率分布直方图.
(1)求直方图中的值,并估计销量的中位数;
(2)请根据频率分布直方图估计新能源汽车平均每个季度的销售量(同一组数据用该组中间值代表),并以此预计年的销售量.
19.(12分)己知圆F1:(x+1)1+y1=r1(1≤r≤3),圆F1:(x-1)1+y1=(4-r)1.
(1)证明:圆F1与圆F1有公共点,并求公共点的轨迹E的方程;
(1)已知点Q(m,0)(m0),过点E斜率为k(k≠0)的直线与(Ⅰ)中轨迹E相交于M,N两点,记直线QM的斜率为k1,直线QN的斜率为k1,是否存在实数m使得k(k1+k1)为定值?若存在,求出m的值,若不存在,说明理由.
20.(12分)设椭圆的左右焦点分别为,离心率,右准线为,是上的两个动点,.
(Ⅰ)若,求的值;
(Ⅱ)证明:当取最小值时,与共线.
21.(12分)已知,.
(1)当时,证明:;
(2)设直线是函数在点处的切线,若直线也与相切,求正整数的值.
22.(10分)已知椭圆的离心率为,直线过椭圆的右焦点,过的直线交椭圆于两点(均异于左、右顶点).
(1)求椭圆的方程;
(2)已知直线,为椭圆的右顶点.若直线交于点,直线交于点,试判断是否为定值,若是,求出定值;若不是,说明理由.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
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