2025版高考数学一轮复习第三章 一元函数的导数及其应用第17讲 新高考新结构命题下的导数解答题综合训练（教师版）.docxVIP

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新高考新结构

命题下的导数解答题综合训练

（11类核心考点精练）

在新课标、新教材和新高考的“三新”背景下，高考改革又一次具有深度的向前推进。这不仅仅是一场考试形式的变革，更是对教育模式和教育理念的全面革新。

当前的高考试题设计，以“三维”减量增质为核心理念，力求在减少题目数量的同时，提升题目的质量和考查的深度。这具体体现在以下三个方面：

三考

题目设计着重考查学生的知识主干、学习能力和学科素养，确保试题能够全面、客观地反映学生的实际水平。

三重

强调对学生思维深度、创新精神和实际应用能力的考查，鼓励学生不拘泥于传统模式，展现个人的独特见解和创造力。

三突出

试题特别突出对学生思维过程、思维方法和创新能力的考查，通过精心设计的题目，引导学生深入思考和探索，培养逻辑思维和创新能力。

面对新高考新结构试卷的5个解答题，每个题目的考查焦点皆充满变数，无法提前预知。导数版块作为一个重要的考查领域，其身影可能悄然出现在第15题中，作为一道13分的题目，难度相对较为适中，易于学生入手。然而，同样不能忽视的是，导数版块也可能被置于第18、19题这样的压轴题中，此时的分值将提升至17分，挑战学生的解题能力和思维深度，难度自然相应加大。

面对如此多变的命题趋势，教师在教学备考过程中必须与时俱进。不仅要深入掌握不同题目位置可能涉及的知识点及其命题方式，更要能够灵活应对，根据试题的实际情况调整教学策略。本文基于新高考新结构试卷的特点，结合具体的导数解答题实例，旨在为广大师生提供一份详尽的导数解答题综合训练指南，以期在新高考中取得更好的成绩。

考点一、利用导数研究具体函数的单调性

1．（2024·湖南邵阳·三模）已知函数．

(1)求函数的单调递增区间；

(2)若函数有且仅有三个零点，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用求导，导数值大于0来求单调递增区间即可；

（2）利用函数的单调性和取值情况，分析可得的取值范围.

【详解】（1）由，得，

令，得，解得．

所以的单调递增区间为

（2）令，解得或．

当变化时，，的变化情况如下表所示：

0

2

0

0

单调递减

1

单调递增

单调递减

由函数有且仅有三个零点，

得方程有且仅有三个不等的实数根，

所以函数的图象与直线有且仅有三个交点．

显然，当时，；当时，．

所以由上表可知，的极小值为，的极大值为，

故．

2．（2024·浙江·三模）已知函数．

(1)求函数的单调区间；

(2)若曲线在点处的切线与二次曲线只有一个公共点，求实数a的值．

【答案】(1)单调增区间：，单调减区间：．

(2)或．

【分析】（1）利用导数求函数的单调区间；

（2）首先求出函数的切线方程，与曲线联立方程，分析得出结论.

【详解】（1）易知定义域为R，，

所以，，，．

故单调增区间：，单调减区间：．

（2）因为，，

所以曲线在点处的切线为

把切线方程代入二次曲线方程，得有唯一解，

即且，即

解得或．

3．（2024·湖南邵阳·三模）已知函数

(1)若，求的单调区间.

(2)若对，恒成立，求实数的取值范围

【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为

(2)

【分析】（1）求导，根据导函数的符号判断原函数的单调区间；

（2）分析可知原题意等价于对，恒成立，构建，利用导数判断的单调性和最值，结合恒成立问题分析求解.

【详解】（1）若，则的定义域为，

且，

令，解得；令，解得；

所以的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）因为，则，

所以原题意等价于对，恒成立，

构建，

则，

令，则对恒成立，

可知在内单调递增，且，

可知在内存在唯一零点，

当时，，即；

当时，，即；

可知在内单调递减，在内单调递增，

则，

且，可得，

则，可得，

所以实数的取值范围为.

4．（2024·陕西渭南·二模）已知函数，.

(1)求函数的单调区间；

(2)若当时，恒成立，求实数m的取值范围.

【答案】(1)递减区间为，无递增区间；

(2).

【分析】（1）求出函数，再利用导数求出的单调区间.

（2）等价变形给定不等式得，令并求出值域，再换元并分离参数构造函数，求出函数的最小值即得.

【详解】（1）依题意，函数的定义域为，

求导得，当且仅当时取等号，

即在上单调递减，

所以函数的递减区间为，无递增区间.

（2）当时，恒成立，

令，求导得，

当时，，当时，，

即函数在上递减，在上递增，则当时，，

令，依题意，，恒成立，

令，求导得，则函数在上单调递增，

当时，，因此，

所以实数m的取值范围.

【点睛】关键点点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.

5．（2024·湖南衡阳·模拟预测）函数.

(1)当时，讨论的单调性；

(2)在上单调递增，求的取值范围.

【答案】(1)在上