2025年高考数学复习(新高考专用)重难点29圆锥曲线中的三角形(四边形)面积问题【六大题型】特训(学生版+解析).docxVIP

重难点29圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题【六大题型】

【新高考专用】

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【题型1三角形面积问题】 2

【题型2四边形面积问题】 2

【题型3三角形面积之比问题】 4

【题型4三角形面积之和、之差问题】 5

【题型5已知面积求其他量】 7

【题型6三角形（四边形）面积的最值、范围问题】 8

1、圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题

圆锥曲线是高考的重点、热点内容，从近几年的高考情况来看，圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题考查热度较高，考查形式多种多样，主要考查三角形、四边形的面积及其最值（范围）问题、面积之比问题、已知面积求其他量等问题，各种题型都有考查，在解答题中，计算量大，难度较高；复习时要加强此类问题的训练，灵活求解.

【知识点1圆锥曲线中的面积问题及其解题策略】

1．三角形面积问题的解题策略

(1)利用三角形面积公式求解：

①(一般选弦长做底，点到直线的距离为高)；

②.

2．四边形面积问题的解题策略

面积的拆分：不规则的多边形的面积问题通常考虑拆分为多个三角形的面积和，对于三角形如果底和高不便于计算，则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形.

3．三角形面积之比问题的解题策略

(1)三角形面积公式：利用三角形面积公式分别求出各个三角形的面积，再研究它们之间的比值问题.

(2)面积的关系的转化：寻找这些三角形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化.

4．圆锥曲线中面积的最值（范围）问题的解题策略

一般都是利用三角形面积公式表示面积，然后将面积的关系式转化为某个变量的一个函数，再求解函数的最值(常用方法有：单调性法、换元法、基本不等式、三角函数求最值、利用导数求最值等)，在计算面积的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算，灵活求解，简化计算.

【题型1三角形面积问题】

【例1】（2024·湖北武汉·二模）已知抛物线C:y2=2pxp0的焦点为F，过F作直线交抛物线C于A,B两点，过A,B分别作准线l的垂线，垂足分别为M,N，若△AFM和△BFN的面积分别为8和4，则△MFN的面积为（????）

A．32 B．16 C．82

【变式1-1】（2024·湖南长沙·三模）已知点A为双曲线x24?y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的左支上，若

A．4 B．89 C．169

【变式1-2】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的长轴长为20，离心率为35，左?右焦点为F

A．6433 B．643 C．128

【变式1-3】（2024·全国·模拟预测）已知点A为椭圆M：x24+y23=1的一点，F1，F2分别为椭圆M的左，右焦点，∠

A．12 B．22 C．1

【题型2四边形面积问题】

【例2】（2024·贵州毕节·二模）在椭圆C:x24+y22=1上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，

(1)当点P在椭圆C上运动时，求点M的轨迹E的方程；

(2)若曲线E与x，y轴的正半轴分别交于点A，B，点N是E上第三象限内一点，线段AN与y轴交于点H，线段BN与x轴交于点G，求四边形ABGH的面积.

【变式2-1】（2024·安徽芜湖·模拟预测）如图，直线l1:x=my+n1与直线l2:x=my+n2，分别与抛物线T:y2=2px(p0)交于点A，B和点C，D（A，D在x

??

(1)求抛物线T的标准方程；

(2)线段AC与BD交于点H，线段AB与CD的中点分别为M，N

①求证：M，H，N三点共线；

②若2HM=HN

【变式2-2】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆E:x2a2+y2

(1)求椭圆E的方程；

(2)已知A,B,C为椭圆上三个点，O为坐标原点，若四边形OABC为矩形，求四边形OABC的面积.

【变式2-3】（2024·山东济南·二模）已知点B4,3是双曲线T:x2a2?y2

(1)求双曲线T的方程及点A的坐标；

(2)过A且斜率非负的直线与T的左?右支分别交于N,M.过N做NP垂直于x轴交T于P（当N位于左顶点时认为N与P重合）.C为圆E:(x?1)2+(y+2)2

【题型3三角形面积之比问题】

【例3】（2024·重庆·模拟预测）已知F1?c,0,F2c,0分别是椭圆C1:x2a

(1)求椭圆的离心率；

(2)设△PF1F2和△QF

【变式3-1】（2024·四川南充·二模）如图，已知四边形ABCD的四个顶点都在抛物线x2=4y上，且A，B在第一象限，AC//x轴，抛物线在点A处的切线为l，且

??

(1)设直线CB,CD的斜率分别为k和k′，求k+

(2)P为AC与BD的交点，设△BCD的面积为S1