求数列通项公式.ppt

关于求数列通项公式第1页，共33页，星期日，2025年，2月5日学习目标在了解数列概念的基础上，掌握几种常见递推数列通项公式的求解方法理解求通项公式的原理体会各种方法之间的异同，感受事物与事物之间的相互联系第2页，共33页，星期日，2025年，2月5日例1、写出下面数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数。已知数列的前几项，通常先将各项分解成几部分（如符号、分子、分母、底数、指数等），然后观察各部分与项数的关系，写出通项。一、观察法第3页，共33页，星期日，2025年，2月5日1、写出下列数列的一个通项公式:(1)9,99,999,9999,……解：an=10n－1(2)1,11,111,1111,……分析：注意观察各项与它的序号的关系有10－1，102－1，103－1，104－1解：an=(10n－1)这是特殊到一般的思想，也是数学上重要的思想方法，但欠严谨！分析:注意与熟悉数列9,99,999,9999,···联系练习：第4页，共33页，星期日，2025年，2月5日注意：（1）这种做法适用于所有数列；（2）用这种方法求通项需检验a1是否满足an.二、公式法（利用an与Sn的关系或利用等差、等比数列的通项公式）第5页，共33页，星期日，2025年，2月5日练习：1.｛an｝的前项和Sn=2n2－1，求通项an二、公式法（利用an与Sn的关系或利用等差、等比数列的通项公式）an=S1(n=1)Sn－Sn－1(n≥2)解：当n≥2时，an=Sn－Sn－1=(2n2－1)－[2(n－1)2－1]=4n－2不要遗漏n=1的情形哦！当n=1时,a1=1不满足上式因此an=1(n=1)4n－2(n≥2,)第6页，共33页，星期日，2025年，2月5日第7页，共33页，星期日，2025年，2月5日3.已知{an}中，a1+2a2+3a3+???+nan=3n+1,求通项an解:∵a1+2a2+3a3+···+nan=3n+1(n≥1)注意n的范围∴a1+2a2+3a3+···+(n－1)an－1=3n（n≥2）nan=3n+1－3n=2·3n2·3nn∴an=而n=1时,a1=9（n≥2）两式相减得：∴an=9(n=1)2·3nn（n≥2,）第8页，共33页，星期日，2025年，2月5日例3.已知{an}中,an+1=an+n(n∈N*),a1=1,求通项an解:由an+1=an+n(n∈N*)得a2－a1=1a3－a2=2a4－a3=3???an－an－1=n－1an=(an－an－1)+(an－1－an－2)+???+(a2－a1)+a1=(n－1)+(n－2)+???+2+1+1三、累加法(递推公式形如an+1=an+f(n)型的数列)n个等式相加得a1=1an+1－an=n(n∈N*)（1）注意讨论首项;(2)适用于an+1=an+f(n)型递推公式第9页，共33页，星期日，2025年，2月5日求法：累加法练习：第10页，共33页，星期日，2025年，2月5日四、累乘法(形如an+1=f(n)?an型)例4.已知{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)an+12+an+1an－nan2=0,求{an}的通项公式解:∵(n+1)an+12+an+1an－nan2=0∴(an+1+an)[(n+1)an+1－nan]=0∵an+1+an0∴(n≥1)∴an=...注意：累乘法与累加法有些相似，但它是n个等式相乘所得∴(n+1)an+1=nan第11页，共33页，星期日，2025年，2月5日练习1：类型四、累乘法形如的递推式第12页，共33页，星期日，2025年，2月5日四、累乘法适用于an+1=anf(n)型的递推公式练习2第13页，共33页，星期日，2025年，2月