《多元函数极限》课件.pptVIP

******************链式法则链式法则是指复合函数的求导法则。对于单变量函数，如果y=f(u)，u=g(x)，则dy/dx=(dy/du)(du/dx)。对于多元函数，链式法则的形式更为复杂。例如，如果z=f(u,v)，u=u(x,y)，v=v(x,y)，则?z/?x=(?f/?u)(?u/?x)+(?f/?v)(?v/?x)，?z/?y=(?f/?u)(?u/?y)+(?f/?v)(?v/?y)。链式法则在数学分析、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。例如，在物理学中，可以用链式法则来分析运动轨迹、能量转换等。掌握链式法则，可以更加灵活地处理复合函数求导问题。需要注意的是，在使用链式法则时，必须保证各个函数都满足可导条件，否则法则不成立。1单变量dy/dx=(dy/du)(du/dx)。2多元函数形式更为复杂，需要分别对每个自变量求导。梯度向量梯度向量是指由函数在某一点处的偏导数组成的向量。对于二元函数f(x,y)，梯度向量表示为?f=(?f/?x,?f/?y)。梯度向量的方向是函数在该点处增长最快的方向，梯度向量的模是函数在该点处增长的最大速率。梯度向量是研究函数极值问题的重要工具。在几何上，梯度向量垂直于函数的等高线或等值面。梯度向量的概念在机器学习、优化算法等领域都有广泛的应用。例如，在梯度下降算法中，我们可以沿着梯度向量的反方向来寻找函数的最小值。理解梯度向量的概念，对于深入学习多元函数微分学具有重要的意义。定义由偏导数组成的向量。方向函数增长最快的方向。模函数增长的最大速率。方向导数方向导数是指函数在某一点处沿某个方向的变化率。对于二元函数f(x,y)，在(x,y)处沿方向l的方向导数表示为?f/?l=(?f/?x)cosα+(?f/?y)sinα，其中α是方向l与x轴的夹角。方向导数是研究函数在任意方向上的变化情况的重要工具。方向导数与梯度向量之间存在密切的关系。方向导数等于梯度向量与方向向量的点积，即?f/?l=?f·l?，其中l?是方向l的单位向量。方向导数的概念在物理学、工程学等领域都有广泛的应用。例如，在热力学中，可以用方向导数来分析温度场的变化情况。1定义函数在某一点处沿某个方向的变化率。2表示?f/?l=(?f/?x)cosα+(?f/?y)sinα。3关系?f/?l=?f·l?。梯度向量与方向导数的关系梯度向量与方向导数之间存在密切的关系。方向导数等于梯度向量与方向向量的点积，即?f/?l=?f·l?，其中l?是方向l的单位向量。当方向l与梯度向量同向时，方向导数取得最大值，等于梯度向量的模；当方向l与梯度向量反向时，方向导数取得最小值，等于梯度向量的模的相反数；当方向l与梯度向量垂直时，方向导数为零。这个关系表明，梯度向量是函数在该点处增长最快的方向，也是方向导数取得最大值的方向。理解梯度向量与方向导数的关系，对于深入学习多元函数微分学具有重要的意义。这个关系在优化算法、机器学习等领域都有广泛的应用。关系?f/?l=?f·l?。最大值方向与梯度向量同向时，方向导数取得最大值。最小值方向与梯度向量反向时，方向导数取得最小值。极值点的概念极值点是指函数在某一点处取得极大值或极小值。对于二元函数f(x,y)，如果存在(x0,y0)的某个邻域，使得对于该邻域内的所有(x,y)，都有f(x,y)≤f(x0,y0)，则称(x0,y0)为f(x,y)的极大值点；如果都有f(x,y)≥f(x0,y0)，则称(x0,y0)为f(x,y)的极小值点。极大值点和极小值点统称为极值点。极值点是研究函数性质的重要内容。寻找极值点是优化问题中的一个重要步骤。在经济学、物理学、工程学等领域，经常需要寻找函数的极值点，以实现某种最优目标。理解极值点的概念，对于深入学习多元函数微分学具有重要的意义。极大值点f(x,y)≤f(x0,y0)。1极小值点f(x,y)≥f(x0,y0)。2极值点极大值点和极小值点统称。3极值点的判定判定极值点的方法有多种，常用的方法包括一阶导数法和二阶导数法。一阶导数法是指寻找函数的驻点（即偏导数为零的点），然后分析驻点附近的函数值的变化情况。如果驻点附近的函数值先增大后减小，则该驻点为极大值点；如果先减小后增大，则该驻点为极小值点。二阶导数法是指计算函数的二阶偏导数，然后利用Hessian矩阵来判断