高等数学（慕课版）教案 教学设计——5.3 定积分的换元积分法与分部积分法；5.4 定积分的应用.docx

《高等数学（慕课版）》

教学设计

教学内容：

定积分的计算

完成时间：

2025年2月

授课信息

授课内容

授课时长

定积分的换元积分法与分部积分法

2学时

授课形式

授课时间

理论课

授课对象

授课地点

内容分析

定积分的计算是一元函数积分学的重要内容，承接前面所学的不定积分的计算方法和微积分基本公式，同时为后续定积分的应用奠定了基础，在本章中起到了承上启下的作用。

学情分析

1、学生已有的知识与能力：

(1)已掌握了定积分计算的核心工具——牛顿-莱布尼茨公式；

(2)掌握了定积分概念及相关数学思想。

2、学生可能存在的问题及困难：

(1)学生对复杂函数定积分的计算没有成熟的方法；

(2)学生对一些复杂函数的定积分计算无从下手，具有一定的畏惧感，易排斥抽象复杂函数的定积分。

教学目标

知识目标：

1、理解定积分的换元积分法与分部积分法；

2、熟练运用换元积分法与分部积分法求解定积分；

能力目标：

会利用换元积分法、分部积分法求定积分

素质目标：

1、通过学习定积分的积分方法，培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；

2、引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神。

教学重难点

教学重点：

定积分的换元积分法与分部积分法

教学难点：

定积分的换元积分法与分部积分法

教学方法

引导探究法、讲授法、问答法、练习法、演示法

教学设计

课前任务→回顾复习+导入新课（7min）→讲授新课（55min）→巩固提高（25min）→归纳总结（2min）→布置作业（1min）→课后拓展

课程思政设计

通过学习定积分的计算方法，渗透“化复杂为简单”、“摸着石头过河”等辨证唯物观，培养学生的创新意识和大胆试错的精神。

教学过程

课前环节

教学环节

课前任务

教师活动

学生活动

设计意图

课前导学

熟记基本积分公式。

思考：牛顿-莱布尼茨公式的核心是什么？能否利用该公式直接求解如下定积分

0

如果不能，思考如何求解；

3、预习定积分的计算方法。

1、发布任务：课前两天学习通发布任务，并提醒学生接收任务；

2、跟踪提醒：通过学习通观测任务完成情况，及时督促提醒，把握学生学习难点。

按时完成课前任务，明确本节课个人学习难点。

1、锻炼自学能力：自主学习，掌握易点，发现难点；

2、优化教学策略：依据课前任务完成情况，掌握学情，调整优化教学策略。

课中环节

教学环节

教学内容

教师活动

学生活动

设计意图

导入新课

【回顾复习】

基本积分公式；

牛顿-莱布尼茨公式。

1、听写积分公式；

2、带领学生回顾上节课所学的牛顿-莱布尼茨公式。

认真复习、认真默写公式。

根据“建构主义理论”，任务的目标性与教学情境的创建，使学生带着任务学习，有利于激发学生的求知欲。

【引入新知】

问题思考：能否直接利用牛顿-莱布尼茨公式计算

0ln2

通过课前的思考题导入新课，让学生意识到对于一些定积分，当原函数不好求的时候需要先借助积分方法简化运算。

积极思考，体会前面所学过的计算工具的局限性，意识到引入积分方法的必要性。

探究新知

一、定积分的换元积分法

1、方法介绍

2、应用

1、介绍定积分的换元积分法；

定理5.5设函数在区间上连续，函数满足条件：

(1)，,

(2)当(或)时,,

(3)在区间（或）上有连续的导数,且，

则有

.

特别强调定积分换元必换限；

2、通过例题引导学生学会用定积分的换元积分法求定积分。

【例5.9】-【例5.15】

认真聆听，思考换元积分法在不定积分与定积分中的不同。

教师主导，学生主体，引导探究与讲授相结合，高效讲解本节课核心新知。

定积分的分部积分法

1、方法介绍

2、应用

1、介绍定积分的分部积分法；

定理5.6设在上具有连续的导数，则

简记为

．

这就是定积分的分部积分公式．

2、通过例题引导学生学会用定积分的分部积分法求定积分。

【例5.16】-【例5.20】

认真聆听，积极思考，在教师的引导下学会用分部积分求定积分。

巩固提高

1、用换元积分法求定积分

2、用分部积分法求定积分

【练习1】、

【练习2】

1、引导学生对所学的积分方法进行巩固练习，已达到真正内化的效果；

2、留一定时间给学生做习题练习，并讲评学生的做题情况。

认真聆听教师对例题的讲解；

独立完成练习题，并积极回答，并做好总结整理。

分层次设置练习，循序渐进地使学生及时巩固所学。

课堂小结

本节课重点、要点内容总结：定积分的积分方法（与不定积分积分方法的区别）。

和学生一起回顾与强调本节课重点知识，强化学生学习效果。

认真总结，从整体上把握本节课。

诊断、强化课堂学习效果。

课后环节

教学环节

教学活动