2025年高考数学复习核心考点(新高考专用)专题6.1数列的概念与简单表示法【九大题型】特训(学生版+解析).docxVIP

专题6.1数列的概念与简单表示法【九大题型】

【新高考专用】

TOC\o1-3\h\u

【题型1由an与Sn的关系求通项或项】 4

【题型2累加法求通项公式】 4

【题型3累乘法求通项公式】 5

【题型4构造法求通项公式】 6

【题型5数列的周期性】 6

【题型6数列的单调性】 6

【题型7数列的最大（小）项】 7

【题型8数列中的规律问题】 8

【题型9数列的恒成立问题】 9

1、数列的概念与简单表示法

考点要求

真题统计

考情分析

(1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)

(2)了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数

2021年北京卷：第10题，4分

数列是高考的热点内容，属于高考的必考内容.从近几年的高考情况来看，高考中对数列的概念的考查相对较少，考查题型以选择题、填空题为主，难度不大，重点是考查数列的单调性、周期性与最值等内容.

【知识点1数列的概念与基本知识】

1．数列的定义

一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的第一

个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用表示第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用表示.其中第1项也叫做首项.

2．数列的分类

分类标准

名称

含义

举例

按项的

个数

有穷数列

项数有限的数列

1,2,3,…,n

无穷数列

项数无限的数列

1,0,1,0,1,0,…

按项的

变化趋势

递增数列

从第2项起，每一项都大于它的前一

项的数列

3,4,5,6,…,n+2

递减数列

从第2项起，每一项都小于它的前一

项的数列

-1,-2,-3,…,-n

常数列

各项相等的数列

0,0,0,0,…

摆动数列

从第2项起，有些项大于它的前一

项，有些项小于它的前一项的数列

1,-2,3,-4,…

3．数列的通项公式

如果数列{}的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这

个数列的通项公式.

4．数列的递推公式

(1)递推公式的概念

如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.

(2)对数列递推公式的理解

①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式.

②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式.

如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项.

③用递推公式求出一个数列，必须给出：

基础——数列{}的第1项(或前几项)；

递推关系——数列{}的任意一项与它的前一项()(或前几项)间的关系，并且这个关系可

以用等式来表示.

5．数列表示方法及其比较

优点

缺点

通项

公式法

便于求出数列中任意指定的一项，利于对数列性质进行研究

一些数列用通项公式表示比较困难

列表法

内容具体、方法简单，给定项的序号，易得相应项

确切表示一个无穷数列或项数比较多的有穷数列时比较困难

图象法

能直观形象地表示出随着序号的变化，相应项的变化趋势

数列项数较多时用图象表示比较困难

递推

公式法

可以揭示数列的一些性质，如前后几项之间的关系

不容易了解数列的全貌，计算也不方便

6．数列的前n项和

数列{}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{}的前n项和，记作，即=+++.

如果数列{}的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做

这个数列的前n项和公式.

=.

【知识点2数列的通项公式的求解策略】

1．由an与Sn的关系求通项：

(1)已知Sn求an的常用方法是利用=转化为关于an的关系式，再求通项公式.

(2)Sn与an关系问题的求解思路

方向1：利用an=Sn-Sn-1(n≥2)转化为只含Sn，Sn-1的关系式，再求解.

方向2：利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为只含an，an-1的关系式，再求解.

2．由数列的递推关系求通项公式：

(1)累加法：形如an+1=an+f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项.

(2)累乘法：形如an+1=an·f(n)的递推关系式可化为的形式，可用累乘法，也可用代入求出通项.

(3)构造法：

①形如an+1=pan+q的递推关系式可以化为(an+1+x)=p(an+x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键.

②形如(A,B,C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.

【知识点3数列的性质有关问题的解题策略】

1．数列周期性问题的解题策略：

解决数列周期性问题，根据给出的关系式求出数